Теорема Голдстоуна

Теоре́ма Голдсто́уна — утверждение о рождении и поглощении квантов возбуждения — частиц с нулевыми массами и спинами в квантовомеханических системах при спонтанном нарушении симметрии в процессах перехода между энергетическими состояниями, образующими непрерывный вырожденный набор. Эти частицы называются бозонами Голдстоуна. Впервые была доказана Йоитирой Намбу в 1964 году.

Пример

Для простейшей возможной симметрии относительно группы преобразований $U(1)$: $\phi \to e^{i\alpha }\phi$ можно выбрать комплексное скалярное поле $\phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2}}\rho (x)e^{i\theta (x)}$ с лагранжианом $L=({\partial }_{\mu }\phi )({\partial }^{\mu }{\phi }^{*})-V(\rho )$. Проиллюстрируем спонтанное нарушение симметрии на примере потенциала вида $V(\rho )=\frac{1}{2}{\mu }^2{\rho }^2+\frac{1}{4}\lambda {\rho }^4$, где ${\mu }^2<0$. Потенциал $V(\rho )$ имеет минимум при $\phi =\frac{1}{\sqrt{2}}\eta e^{i\alpha }$, где $\eta =\sqrt{\frac{|{\mu }^2|}{\lambda }}$. Лагранжиан можно записать как: $L=\frac{1}{2}({\partial }_{\mu }\rho {)}^2-V(\rho )+\frac{{\rho }^2}{2}({\partial }_{\mu }\theta {)}^2$. Если рассматривать в лагранжиане лишь квадратичные члены по модулю и фазе поля, то получим $L=\frac{1}{2}({\partial }_{\mu }{\rho }_1{)}^2-\frac{m^2}{2}{\rho }_1^2+\frac{{\eta }^2}{2}({\partial }_{\mu }\theta {)}^2+C$, где ${\rho }_1=\rho -\eta$, $m^2=2|\mu {|}^2$, $C$ — константа, не зависящая от поля. Из этого лагранжиана вытекают уравнения движения: $(\underset{\mu }{\overset{2}{\partial }}+m^2){\rho }_1=0$ и $\underset{\mu }{\overset{2}{\partial }}\theta =0$. Таким образом, имеем два вещественных поля. Квантами поля ${\rho }_1$ являются частицы с массой $m$, а квантами поля $\theta$ являются частицы с нулевой массой.

См. также

• Механизм Хиггса

Литература

• Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Квантовые поля. — М. : Наука, 1980. — С. 101.
• Садовский, М. В. Лекции по квантовой теории поля. — М.-Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2003. — С. 367.