Теорема Дезарга об инволюции

Пары точек (X,X'), (Y,Y'), (Z,Z'), (W,W') отличаются проективной инволюцией

Теорема Дезарга об инволюции (ТДИ) — теорема проективной геометрии

Проективная инволюция

Определение

Отображение $f$ называется проективной инволюцией, если $f\circ f=Id$ и $f$ сохраняет двойные (или сложные) отношения.

Свойства

1. Проективная инволюция однозначно восстанавливается по трём точкам.
2. Если $f$ — проективное отображение прямой в себя и $f(X)=X^{\prime },f(X^{\prime })=X$ $⟹$ $f$ — проективная инволюция.
3. Если $f$ — проективная инволюция окружности $⟹$ $f$ — инверсия с некоторым центром $Q$ + возможная симметрия относительно $Q$.
4. Если $f$ — проективная инволюция коники $⟹$ $f$ — центральная проекция.

Формулировка

Даны четыре точки $A,B,C,D$ общего положения (никакие 3 точки не лежат на одной прямой) и прямая $L$, не проходящая через них. Пусть $L$ пересекает прямые $AB,CD,BC,AD,AC,BD$ в точках $X,X^{\prime },Y,Y^{\prime },Z,Z^{\prime }$ соответственно и конику $c$, проходящую через $A,B,C,D$ в точках $W,W^{\prime }$. Тогда на прямой $L$ существует проективная инволюция $f:X\leftrightarrow X^{\prime },Y\leftrightarrow Y^{\prime },Z\leftrightarrow Z^{\prime },W\leftrightarrow W^{\prime }$

Вариации и обобщения

Пары точек (X,X'), (Y,Y'), (Z,Z') отличаются проективной инволюцией

Теорема Дезарга об инволюции для треугольника

Рассмотрим все коники, проходящие через три точки $A,B,C$ общего положения, касательную $t$ в точке $A$ и произвольную прямую $e$, не проходящую через эти точки. Пусть $e$ пересекает $AB,AC,t,BC$ в точках $X,X^{\prime },Y,Y^{\prime }$ соответственно, а конику в точках $Z,Z^{\prime }$, тогда существует проективная инволюция $f:X\leftrightarrow X^{\prime },Y\leftrightarrow Y^{\prime },Z\leftrightarrow Z^{\prime }$

ТДИ, двойственная

Двойственная теорема

Коника $c$ вписана в четырехугольник $ABCD$, $AB\cap CD=P,BC\cap AD=Q$. Вне коники $c$ и не на прямых $AB,BC,CD,DA$ выбрана точка $N$. Тогда существует проективная инволюция $f:N⟶N$, меняющая местами пары прямых $NA\leftrightarrow NC,NB\leftrightarrow ND,NP\leftrightarrow NQ$ и касательные из $N$ к конике $c$. Справедливость этой теоремы следует из проективного принципа двойственности.