Теорема Карлемана о квазианалитических классах функций

Теорема Карлемана о квазианалитических классах функций — утверждение о необходимых и достаточных условиях квазианалитичности класса функций. Была доказана Карлеманом в 1926 году. Играет важную роль в функциональном анализе.

Квазианалитический класс функций

Пусть $A_0=1,A_1,...,A_n$ - последовательность положительных чисел. Обозначим $C_A$ множество функций, определённых на интервале $(-1,1)$, бесконечно дифференцируемых на нём и удовлетворяющих неравенствам $\underset{-1⩽x⩽1}{\max }|f^{(\nu )}(x)|⩽B^{\nu }{A}_{\nu }$, где $\nu =0,1,2,...$, $B$ - константа, зависящая от $f(x)$.

Класс $C_A$ называется квазианалитическим, если функция, ему принадлежащая, полностью определяется на интервале $(-1,1)$ значениями своих производных $f^{(\nu )}(x)$ в одной точке $x_0$. То есть если из равенств $f^{(\nu )}(x_0)=0$ и принадлежности $f(x)$ классу $C_A$ следует, что $f(x)\equiv 0$.

Формулировка

Необходимым и достаточным условием квазианалитичности класса $C_A$ является расходимость интеграла

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\lg \left(\sum _{\nu =0}^{\mathrm{\infty }}\frac{v^{2\nu }}{A_{\nu }^2}\right)\frac{dx}{1+x^2}$

или, что то же самое, расходимость наименьшей невозрастающей мажоранты ряда

$\sum _{\nu =0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{A_{\nu }^{\frac{1}{\nu }}}$

См. также

• Квазианалитическая функция