Теорема Карно (термодинамика)

Шаблон:Другие значения Теорема Карно — теорема о коэффициенте полезного действия (КПД) тепловых двигателей. Согласно этой теореме, КПД цикла Карно не зависит от природы рабочего тела и конструкции теплового двигателя и является функцией температур нагревателя и холодильника.

История

В 1824 году Сади Карно опубликовал работу «Размышления о движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу», в которой он сформулировал основные положения теории тепловых машин, описал замкнутый термодинамический цикл рабочего тела тепловой машины. В этой же работе он впервые изложил второе начало термодинамики. В своей работе Карно пришел к выводу: «Движущая сила тепла не зависит от агентов, взятых для её развития; её количество исключительно определяется температурами тел, между которыми, в конечном счете, производится перенос теплорода».

С. Карно рассуждал о движущей силе тепла по аналогии с силой падающей воды и описал предельное количество энергии, которую можно извлечь из разницы температур нагретых тел. Шаблон:Начало цитаты …можно с достаточным основанием сравнить движущую силу тепла с силой падающей воды: обе имеют максимум, который нельзя превзойти, какая бы ни была бы в одном случае машина для использования действия воды, и в другом — вещество, употребленное для развития силы тепла

Движущая сила падающей воды зависит от высоты падения и количества воды; движущая сила тепла также зависит от количества употребленного теплорода и зависит от того, что можно назвать и что мы на самом деле и будем называть высотой его падения, — то есть от разности температур тел, между которыми происходит обмен теплорода. При падении воды движущая сила строго пропорциональна разности уровней в верхнем и нижнем резервуаре. При падении теплорода движущая сила без сомнения возрастает с разностью температур между горячим и холодным телами… Шаблон:Конец цитаты

Формулировки

Некоторые современные авторы (К. В. Глаголев , А. Н. Морозов из МГТУ им. Н. Э. Баумана), а также ранее Д.В.Сивухин (МФТИ) говорят уже о двух теоремах Карно, цитата: «Приведенные выше рассуждения позволяют перейти к формулировке первой и второй теорем Карно. Их можно сформулировать в виде двух следующих утверждений:

1. Коэффициент полезного действия любой обратимой тепловой машины, работающей по циклу Карно, не зависит от природы рабочего тела и устройства машины, а является функцией только температуры нагревателя и холодильника: $\eta =1-F(T_H,T_X).$

2. Коэффициент полезного действия любой тепловой машины, работающей по необратимому циклу, меньше коэффициента полезного действия машины с обратимым циклом Карно, при условии равенства температур их нагревателей и холодильников: ${\eta }_n<{\eta }_o.$

Другие авторы (например, Б. М. Яворский и Ю. А. Селезнев) указывают на три аспекта одной теоремы Карно, цитата (см. стр. 151—152.):

3°. Термический к.п.д. обратимого цикла Карно не зависит от природы рабочего тела и определяется только температурами нагревателя $T_H$ и холодильника $T_X$:

${\eta }_k=\frac{T_H-T_X}{T_H}=1-\frac{T_X}{T_H}.$

${\eta }_k<1$, ибо практически невозможно осуществить условие $T_H\to \mathrm{\infty }$ и теоретически невозможно осуществить холодильник, у которого : $T_X=0$.

4°. Термический к.п.д. ${\eta }_o$ произвольного обратимого цикла не может превышать термический к.п.д. обратимого цикла Карно, осуществленного между теми же температурами $T_H$ и $T_X$ нагревателя и холодильника:

${\eta }_o<\frac{T_H-T_X}{T_H}.$

5°. Термический к.п.д. ${\eta }_n$ произвольного необратимого цикла всегда меньше термического к.п.д. обратимого цикла Карно, проведенного между температурами $T_H$ и $T_X$:

${\eta }_n<\frac{T_H-T_X}{T_H}.$

Пункты 3° — 5° составляют содержание теоремы Карно.

Доказательства теоремы Карно

Существует несколько различных доказательств этой теоремы.

Рассуждение Сади Карно

Шаблон:Начало цитаты …В различных положениях поршень испытывает давления более или менее значительные со стороны воздуха, находящегося в цилиндре; упругая сила воздуха меняется как от изменения объёма, так и от изменения температуры, но необходимо заметить, что при равных объёмах, то есть для подобных положений поршня, при разрежении температура будет более высокой, чем при сжатии. Поэтому в первом случае упругая сила воздуха будет больше, а отсюда движущая сила, произведенная движением от расширения, будет больше, чем сила, нужная для сжатия. Таким образом, получится излишек движущей силы, излишек, который можно на что-нибудь употребить. Воздух послужит нам тепловой машиной; мы употребили его даже наиболее выгодным образом, так как не происходило ни одного бесполезного восстановления равновесия теплорода. Шаблон:Конец цитаты

Современное доказательство для идеального газа

Одно из доказательств представлено в книге Д. тер Хаара и Г. Вергеланда «Элементарная термодинамика» (см. рис).

Один из возможных вариантов теоретического цикла Карно

Процесс D-E:

Поскольку газ идеальный, $(dU/dV{)}_T=0$ и внутренняя энергия остается постоянной. Все тепло, полученное от резервуара при температуре $T_H$, превращается во внешнюю работу:

$Q_{D-E}=\underset{ik}{\overset{cd}{\int }}pdV=R{T}_H\ln \frac{V_{cd}}{V_{ik}}.$ [1]

Процесс В-C:

Подобным же образом, работа, совершенная при изотермическом сжатии, превращается в тепло, которое передается холодному резервуару:

$Q_{B-C}=\underset{gh}{\overset{ef}{\int }}pdV=R{T}_X\ln \frac{V_{ef}}{V_{gh}}.$ [2]

Процессы E-B и C-D:

Поскольку газ идеальный и $U$ зависит только от температуры $T$, из уравнения $Q=U_2-U_1+A$ следует, что работа, совершаемая в одном из этих двух адиабатических процессов, полностью компенсирует работу, совершаемую в другом процессе. Действительно, пользуясь адиабатическим условием $C_{V}dT+pdV=0$, получаем:

$C_V(T_H-T_X)=\underset{cd}{\overset{gh}{\int }}pdV=-\underset{ef}{\overset{ik}{\int }}pdV.$

Чтобы найти связь между $V_{ik}$, $V_{cd}$, $V_{gh}$ и $V_{ef}$, заметим, что, согласно уравнению Пуассона $T{V}^{R/C_V}=const$, в адиабатических процессах:

(E → B):$T_H{V}_{cd}^{x-1}=T_X{V}_{gh}^{x-1},$

(C → D):$T_X{V}_{ef}^{x-1}=T_H{V}_{ik}^{x-1},$

и, следовательно,

$\frac{V_{cd}}{V_{ik}}=\frac{V_{gh}}{V_{ef}}.$

Подставляя это соотношение в уравнения [1] и [2], получаем

$\frac{Q_{B-C}}{Q_{D-E}}=\frac{T_H}{T_X}.$

В то же время мы приходим к результату… что КПД оптимального цикла равен

${\eta }_{max}=\frac{T_H-T_X}{T_H}.$

Литература

• Шаблон:Публикация
• Шаблон:Публикация
• Шаблон:Публикация
• Шаблон:Публикация
• Шаблон:Публикация
• Шаблон:Публикация

Ссылки

• Шаблон:Публикация