Теорема Колмогорова о двух рядах

Теорема Колмогорова о двух рядах в теории вероятностей задаёт достаточное условие сходимости с вероятностью единица ряда независимых случайных величин. Теорема Колмогорова о двух рядах может быть использована для доказательства усиленного закона больших чисел.

Доказательство

Если $\sum D{\xi }_n<\mathrm{\infty }$, то по теореме Колмогорова - Хинчина о сходимости $\sum ({\xi }_n-M{\xi }_n)$ сходится. Но по предположению ряд $M{\xi }_n$ сходится, поэтому сходится и ряд $\sum {\xi }_n$.

Для доказательства необходимости воспользуемся следующим приемом "симметризации". Наряду с последовательностью ${\xi }_1,{\xi }_2...$ рассмотрим не зависящую от неё последовательность случайных величин ${\xi }_1^{\text{'}},{\xi }_2^{\text{'}}...$ таких, что ${\xi }_n^{\text{'}}$ имеет то же распределение, что и ${\xi }_n,n⩾1$.

Тогда, если сходится ряд $\sum {\xi }_n$, то сходится и ряд $\sum {\xi }_n^{\text{'}}$, а значит, и ряд $\sum ({\xi }_n-{\xi }_n^{\text{'}})$. Но $M({\xi }_n-{\xi }_n^{\text{'}})=0$ и $P(|{\xi }_n-{\xi }_n^{\text{'}}|⩽2c)=1$. Поэтому по теореме Колмогорова - Хинчина о сходимости $\sum D({\xi }_n-{\xi }_n^{\text{'}})<\mathrm{\infty }$.

Далее $\sum D{\xi }_n=\frac{1}{2}\sum D({\xi }_n-{\xi }_n^{\text{'}})<\mathrm{\infty }$. Поэтому по теореме Колмогорова - Хинчина о сходимости с вероятностью единица сходится ряд $\sum ({\xi }_n-M{\xi }_n)$, а значит, сходится и ряд $\sum M{\xi }_n$.

Итак, из сходимости ряда $\sum {\xi }_n$ (в предположении $P(|{\xi }_n|⩽c)=1,n⩾1)$ вытекает, что оба ряда $\sum M{\xi }_n$ и $\sum D{\xi }_n$ сходятся.

Литература

• Шаблон:Книга (Глава 4 § 2 раздел 1)