Теорема Лестера

Точки Ферма $X_{13},X_{14}$, центр $X_5$ окружности девяти точек (светло-голубой), и центр описанной окружности $X_3$ зелёного треугольника лежат на окружности Лестера (чёрная).

Теорема Лестера — утверждение в геометрии треугольника, согласно которому в любом разностороннем треугольнике две точки Ферма, центр девяти точек и центр описанной окружности лежат на одной окружности (окружности Лестера). Названа именем канадского математика Джун Лестер (June Lester).

Доказательства

Доказательство Гиберта с помощью гиперболы Киперта

Теорема об окружности Лестера вытекает из более общего утверждения Б. Гиберта (2000), а именно, что любая окружность, диаметр которой является хордой гиперболы Киперта треугольника и перпендикулярен его прямой Эйлера, проходит через точки Ферма.

Лемма Дао на прямоугольной гиперболе

Теорема Дао о прямоугольной гиперболе

В 2014 году Дао Танх Оай (Đào Thanh Oai) показал, что результат Гиберта следует из свойств прямоугольных гипербол. А именно, пусть точки $H$ и $G$ лежат на одной ветви прямоугольной гиперболы $S$, а $F_{+}$ и $F_{-}$ — две точки на $S$, симметричные относительно её центра (точки-антиподы), в которых касательные прямые к $S$ параллельны прямой $HG$.

Пусть $K_{+}$ и $K_{-}$ — две точки на гиперболе, касательные прямые в которых пересекаются в точке $E$ на прямой $HG$. Если прямая $K_{+}{K}_{-}$ пересекает $HG$ в точке $D$, и перпендикуляр в середине отрезка $DE$ пересекает гиперболу в точках $G_{+}$ и $G_{-}$, то шесть точек $F_{+},F_{-},E,D,G_{+},G_{-}$ лежат на одной окружности.

Чтобы получить теорему Лестера из этого результата, необходимо взять в качестве $S$ гиперболу Киперта треугольника, в качестве точек $F_{+},F_{-}$ — точки Ферма, точками $K_{+},K_{-}$ будут внутренняя и внешняя точки Вектена, точками $H,G$ будут ортоцентр и центроид треугольника.

См. также

• Шаблон:Не переведено 5
• Точка Парри
• Точки Торричелли

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья

• Шаблон:Статья

Ссылки

• The Lester Circle Details of its discovery.Шаблон:Ref-en
• Lester Circle at MathWorldШаблон:Ref-en
• Center of the Pohoata-Dao-Moses circles X(5607) and X(5608)Шаблон:Ref-en