Теорема Миди

Теорема Миди — теорема в математике, названная в честь французского математика Миди (M. E. Midy), утверждает, что если в десятичной записи дроби $a / p$ (где $p$ — простое число) длина записи периода дроби состоит из $2 n$ цифр, то есть:

\frac{a}{p} = 0 . \overline{a_{1} a_{2} a_{3} \dots a_{n} a_{n + 1} \dots a_{2 n}},

то

a_{i} + a_{i + n} = 9

a_{1} \dots a_{n} + a_{n + 1} \dots a_{2 n} = 1 0^{n} - 1 .

Другими словами, сумма цифры в десятичной записи первой половины периода и соответствующей цифры во второй половине равна 9.

Например,

\frac{1}{17} = 0, \overline{0588235294117647},

и

05882352 + 94117647 = 99999999 .

Расширенная теорема Миди

Пусть $h$ — число цифр в периоде десятичной записи дроби $a / p$ (где $p$ — простое число). Если $k$ — любой делитель числа $h$ , теорему Миди можно обобщить. Расширенная теорема Миди^[1] постулирует, что если период десятичной записи дроби $a / p$ разделить на числа с $k$ цифр, то их сумма делится на 10^k − 1.

Например,

\frac{1}{19} = 0 . \overline{052631578947368421}

имеет период из 18 цифр. Разделив его на шестизначные числа, получаем:

052631 + 578947 + 368421 = 999999 .

Аналогично, разделив на трехзначные числа:

052 + 631 + 578 + 947 + 368 + 421 = 2997 = 3 \times 999 .