Теорема Осгуда о единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения

Теорема Осгуда о единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения — теорема, формулирующая достаточные условия единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения.

Формулировка

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение $\overrightarrow{\dot{y}}=\overrightarrow{f}(t,\overrightarrow{y})$, где $t$ - независимая скалярная переменная, $\overrightarrow{y}=(y_1,...,y_n)$ - вектор,$\overrightarrow{f}(t,\overrightarrow{y})=(f_1(t,\overrightarrow{y}),...,f_n(t,\overrightarrow{y}))$, - векторная функция вектора $\overrightarrow{y}$ и скаляра $t$, знак $\dot{y}$ означает производную $y$ по $t$.

Если все функции $f_i(t,\overrightarrow{y})$, $i=1,...n$ для любой пары точек $(t,\overrightarrow{y_1})$ и $(t,\overrightarrow{y_2})$ в области $G$ удовлетворяют условию:

$|f_i(t,\overrightarrow{y_2})-f_i(t,\overrightarrow{y_1})|⩽\phi (\sum _{\mu =1}^n|y_{2\mu }-y_{1\mu }|)$ (1),

где непрерывная функция $\phi (u)>0$ при $u>0$ такова, что $\underset{\epsilon }{\overset{a}{\int }}\frac{du}{\phi ((u)}\to \mathrm{\infty }$ когда $\epsilon \to +0$, то через каждую точку области $G$ проходит не более одной интегральной кривой уравнения $\overrightarrow{\dot{y}}=\overrightarrow{f}(t,\overrightarrow{y})$.Шаблон:SfnШаблон:Sfn

Пояснения

Областью $G$ называется непустое множество точек, обладающее следующими двумя свойствами:

1. Каждая точка $G$ есть внутренняя, то есть она имеет окрестность, целиком принадлежащую G.
2. Множество $G$ связно, те любые две его точки можно соединить состоящей из конечного числа звеньев ломаной, целиком лежащей внутри $G$Шаблон:Sfn.

В качестве функций $\phi (u)$ могут использоваться функции $Ku$, $Ku|\ln u|$, $Ku|\ln u|\ln |\ln u|$, $Ku|\ln u|\ln |\ln u|\ln \ln |\ln u|$ и т.п. Наиболее часто в этой теореме принимают $\phi (u)=Ku$. В этом случае условие (1) принимает вид условия Липшица по $y$:Шаблон:Sfn

$|f_i(t,\overrightarrow{y_2})-f_i(t,\overrightarrow{y_1})|⩽K\sum _{\mu =1}^n|\overrightarrow{y_{2\mu }}-\overrightarrow{y_{1\mu }}|$,

Известны обобщения этой теоремы.

См. также

• Теорема Пеано о существовании решения обыкновенного дифференциального уравнения
• Теорема существования и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения

Литература

• Шаблон:Книга