Теорема Ройшле

Теорема Ройшле:
чевианы $A{P}_a$, $A{P}_b$ и $A{P}_c$ пересекаются в точке $D$
$AP{\text{'}}_a$, $AP{\text{'}}_b$ и $AP{\text{'}}_c$ пересекаются в $D^{\prime }$

Теорема Ройшле описывает свойства чевиан треугольника, пересекающихся в одной точке. Теорема названа именем немецкого математика Карла Густава Ройшле (1812—1875). Известна также как теорема Теркема по имени французского математика Олри Теркема (1782—1862), опубликовавшего её в 1842 году.

Утверждение теоремы

В треугольнике $ABC$ с тремя чевианами, пересекающимися в общей точке, отличной от вершин $A$, $B$, $C$, обозначим $P_a$, $P_b$ и $P_c$ пересечения продолженных сторон треугольника и чевиан. Окружность, проходящая через три точки $P_a$, $P_b$ и $P_c$ пересекает продолжения сторон треугольника в точках $P{\text{'}}_a$, $P{\text{'}}_b$ и $P{\text{'}}_c$. Теорема Ройшле утверждает, что эти три новые чевианы $AP{\text{'}}_a$, $BP{\text{'}}_b$ и $CP{\text{'}}_c$ пересекаются также в одной точке.

Частный случай. Пример теоремы Ройшле

• Для окружности девяти точек, которая, в числе прочих, носит и название «окружность Теркема», Теркем доказал теорему Теркема. Она утверждает, что если окружность девяти точек пересекает стороны треугольника или их продолжения в 3 парах точек (в 3 основаниях соответственно высот и медиан), являющихся основаниями 3 пар чевиан, то, если 3 чевианы для 3 из этих оснований пересекаются в 1 точке (например 3 медианы пересекаются в 1 точке), то 3 чевианы для 3 других оснований также пересекаются в 1 точке (то есть 3 высоты также обязаны пересечься в 1 точке).

Литература

• Шаблон:Книга (немецкий язык)
• Шаблон:Статья

Ссылки

• Terquem’s theorem at cut-the-knot.org
• Шаблон:MathWorld