Теорема Феничеля

Теорема Феничеля является одним из классических результатов теории быстро-медленных систем. Она гарантирует существование локально инвариантных множеств для медленного многообразия системы.

Теорема формулируется для быстро-медленной системы вида $\{\begin{array}{c}\dot{x}=f(x,y,\epsilon )\\ \dot{y}=\epsilon g(x,y,\epsilon )\end{array}$ (1)

Формулировка

Пусть для любого вектора $y$ связной области $D\subset {ℝ}^m$ существует решение $x=x_{*}(y)$ уравнения $f(x,y,0)=0$ гладко зависящее от $y$, такое, что матрица $f{\text{'}}_x(x_{*}(y),y,0)$ является гиперболической. Обозначим локальные устойчивое и неустойчивое многообразия неустойчивого положения равновесия $x_{*}(y)$ системы $\dot{x}=f(x,y,0)$ за $W_0^s(x_{*}(y))$ и $W_0^u(x_{*}(y))$ соответственно. Тогда существует ${\epsilon }_0>0$ такое, что для любого $0<\epsilon <{\epsilon }_0$ в фазовом пространстве системы (1) существует локально инвариантное гиперболическое множество $M_{\epsilon }$, лежащее в $\epsilon$-окрестности множества $M_0=\bigcup _{y\in 𝒟}{x}_{*}(y)$, локальные инвариантные устойчивое и неустойчивое многообразия которого $O(\epsilon )$-близки к $\bigcup _{y\in 𝒟}{W}_0^{s,u}(x_{*}(y))$.