Теорема Фока — Крылова

Теорема Фока — Крылова утверждает, что закон распада квазистационарного состояния полностью определяется энергетическим спектром начального состояния.

Формулировка

Теорема Фока — Крылова определяет вероятность распада начального состояния квантовой системы следующим образом:

$L(t)=|p(t){|}^2={|\int \exp (-\frac{i}{\hslash }Et)dW(E)|}^2,$

где

$dW(E)=w(E)dE$ — спектр энергии начального состояния.

Доказательство

Пусть система описывается оператором $\hat{H}(x)$, который не зависит от времени. Тогда уравнение на собственные числа и собственные функции запишется следующем образом:

• для дискретного спектра:

  $\hat{H}(x){\psi }_n(x)=E_n{\psi }_n(x),$

• для сплошного спектра:

  $\hat{H}(x)\psi (E,x)=E\psi (E,x).$

Пусть в момент времени $t=0$ система находится в состоянии $\psi (x,0)$, а в момент времени t она будет находиться в состоянии $\psi (x,t)$. Эволюция системы будет происходить согласно уравнению Шрёдингера:

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\psi (x,t)=\overline{H}(x)\psi (x,t).$

Решение этого уравнения имеет вид

$\psi (x,t)=\sum _n{C}_n\exp (-\frac{i}{\hslash }{E}_{n}t){\psi }_n(x)+\int C(E)\exp (-\frac{i}{\hslash }Et)\psi (E,x)dE.$

Коэффициенты $C_n$ и $C(E)$ определяются начальными условиями:

$C_n=\int {\psi }_n^{*}(x)\psi (0,x)dx,C(E)=\int {\psi }^{*}(E,x)\psi (0,x)dx.$

Вероятность нахождения системы в начальном состоянии выражается следующим образом:

$L(t)=|p(t){|}^2={|\int {\psi }^{*}(x,0)\psi (x,t)dx|}^2={|\int \exp (-\frac{i}{\hslash }Et)w(E)dE|}^2,$

где $w(E)=\sum _n|C_n{|}^2\delta (E-E_n)+|C(E){|}^2$ — спектр начального состояния.

Литература

• Шаблон:КнигаШаблон:Недоступная ссылка