Теорема Хадвигера

Теорема Хадвигера характеризует непрерывные валюации на выпуклых телах в евклидовом пространстве, инвариантные относительно движений. Доказана Гуго Хадвигером.

Введение

Валюации

Пусть $K^n$ — класс всех не пустых компактных выпуклых множеств в ${ℝ}^n$. Валюация на $K^n$ есть функция $v:K^n\to ℝ$ такая, что равенство

$v(S)+v(T)=v(S\cap T)+v(S\cup T)$

выполняется для любых $S,T\in K^n$ таких, что $S\cup T\in K^n$,

При этом

• Валюация называется непрерывной, если она непрерывна относительно метрики Хаусдорфа.
• Валюация называется инвариантной относительно движений, если для любого движения φ и любого $S\in K^n$ выполняется

  $v(S)=v(\varphi (S))$

Средняя поперечная мера

$k$-ая средняя поредняя поперечная мера $W_k(S)$ тела $S\in K^n$ определяется как средняя $k$-мерная площадь проекций $S$ на $k$-мерные плоскости.

В частности,

• $W_n(S)$ — объём $S$,
• $W_{n-1}(S)$ — пропорциональна площади поверхности $S$.
• $W_k(\lambda \cdot S)=|\lambda {|}^k\cdot W_k(S)$

Формулировка

Любая непрерывная валюация v на Kⁿ , инвариантная относительно движений, может быть представлена в виде

$v(S)=\sum _{j=0}^n{c}_j\cdot W_j(S).$

Литература

• Семён Алескер Введение в теорию валюаций на выпуклых множествах Видеозаписи лекций, Летняя математическая школа "Алгебра и геометрия" 25—31 июля, 2014 Ярославль
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья