Теорема Хольмгрена

Теорема Хольмгрена — теорема о единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения с частными производными в случае аналитичности коэффициентов дифференциального оператора.

Формулировка

Рассмотрим пространство $R^{n+1}$. Обозначим $D_{ϵ}$ область пространства $R^{n+1}(x,t)$ такую, что $|x{|}^2+|t|<ϵ$. Обозначим оператор частного дифференцирования $L\equiv {\left(\frac{d}{dt}\right)}^m+\sum _{|\nu |+j⩽m,j⩽m-1}{a}_{\nu ,j}(x,t){\left(\frac{d}{dx}\right)}^{\nu }{\left(\frac{d}{dt}\right)}^j$. Пусть все коэффициенты $a_{\nu ,j}(x,t)$ оператора $L$ аналитичны в окрестности $U$ начала координат. Тогда существует такое ${ϵ}_0>0$, что если $0<ϵ<{ϵ}_0$ и $u(x,t)\in {\mathrm{E}}^m(D_{ϵ})$, причём $Lu=0$ в $D_{ϵ}$, ${\left(\frac{d}{dt}\right)}^{j}u(x,0)=0$, $(j=0,1,...,m-1)$, $x\in D_{ϵ}$, то $u(x,t)\equiv 0$ в $D_{ϵ}$.

См. также

• Теорема Коши — Ковалевской

Литература

• C. Мизохата Теория уравнений с частными производными, М., Мир, 1977, 504 стр.