Теорема Хэйнсворта

Теорема Хэйнсворта — утверждение о свойствах дополнений Шура трех последовательно вложенных матриц.

Формулировка

Пусть $A=\left(\begin{array}{ccc}{A}_{11}& A_{12}& A_{13}\\ A_{21}& A_{22}& A_{23}\\ A_{31}& A_{32}& A_{33}\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}{A}_{11}& A_{12}\\ A_{21}& A_{22}\end{array}\right)$, $C=A_{11}$ - квадратные матрицы, причем матрицы $B$ и $C$ невырождены. Дополнение Шура матрицы $C$ в матрице $B$ $\left(B𝒿C\right)=A_{22}-A_{21}{A}_{11}^{-1}{A}_{12}$ можно рассматривать как подматрицу матрицы $\left(A𝒿C\right)=\left(\begin{array}{cc}{A}_{22}& A_{23}\\ A_{32}& A_{33}\end{array}\right)-(\genfrac{}{}{0ex}{}{A_{21}}{A_{31}})A_{11}^{-1}(A_{12}{A}_{13})$.

Тогда:

$\left(A𝒿B\right)=\left(\left(A𝒿C\right)𝒿\left(B𝒿C\right)\right)$.

Доказательство

Доказательство есть в книге Шаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Книга