Теорема Энгеля

Теорема Энгеля даёт эквивалентность двух различных определений нильпотентности для алгебр Ли. Названа в честь Фридриха Энгеля.

Формулировка

Конечномерная алгебра Ли $𝔤$ является нильпотентной тогда и только тогда, когда для любого $X\in 𝔤$ оператор ${\mathrm{ad}}_X$ нильпотентен.

Необходимые определения

Пусть $𝔤$ — конечномерная алгебра Ли над произвольным полем k. Если $𝔞,𝔟$ — подмножества $𝔤$, то $[𝔞,𝔟]$ обозначает множество всех конечных сумм элементов вида $[X,Y],$ где $X\in 𝔞,Y\in 𝔟.$

Нижний центральный ряд алгебры Ли определёется рекурсивно:

${𝔤}^0=𝔤,{𝔤}^{i+1}=[𝔤,{𝔤}^i]$ .

Алгебра Ли называется нильпотентной, если ${𝔤}^n=0$ для некоторого числа. Эквивалентно, если ввести обозначения ${\mathrm{ad}}_X(Y)=[X,Y],$ то алгебра Ли будет нильпотентных если для некоторого натурального числа n выполняется

Шаблон:Math

для произвольных $X_1,X_2,\dots ,X_n,Y\in 𝔤,$.