Теорема об огибающей

Теорема об огибающей (Шаблон:Lang-en) — результат о дифференцируемости целевой функции в оптимизационных задачах с параметром. Теорема гласит, что при варьировании значения параметра, изменение целевой функции (в определённом смысле) не обусловлено изменением оптимума. Теорема важна для сравнительной статики в оптимизационных моделях.

Теорема

Пусть $f(x,\alpha )$ и $g_j(x,\alpha ),j=1,2,\dots ,m$ — вещественнозначные непрерывные дифференцируемые функции, определённые на ${ℝ}^{n+l}$, где $x\in {ℝ}^n$ есть переменные, а $\alpha \in {ℝ}^l$ — параметры. Рассмотрим задачу выбора $x$ при заданных $\alpha$ с тем, чтобы найти:

$\underset{x}{max}f(x,\alpha )$ при $g_j(x,\alpha )\ge 0,j=1,2,\dots ,m$ и $x\ge 0$.

Лагранжиан:

$ℒ(x,\lambda ,\alpha )=f(x,\alpha )+\lambda \cdot g(x,\alpha )$

где $\lambda \in {ℝ}^m$ — множители Лагранжа. Пусть $x^{\ast }(\alpha )$ и ${\lambda }^{\ast }(\alpha )$ есть решение, то есть точка, максимизирующая f при заданных ограничениях (и, следовательно, седловые точки лагранжиана),

${ℒ}^{\ast }(\alpha )\equiv f(x^{\ast }(\alpha ),\alpha )+{\lambda }^{\ast }(\alpha )\cdot g(x^{\ast }(\alpha ),\alpha ),$

Определим функцию значения

$V(\alpha )\equiv f(x^{\ast }(\alpha ),\alpha ).$

Тогда верна следующая теорема.

Теорема: Положим, что $V$ и $ℒ$ непрерывны и дифференцируемы. Тогда

$\frac{\partial V(\alpha )}{\partial {\alpha }_k}=\frac{\partial {ℒ}^{\ast }(\alpha )}{\partial {\alpha }_k}=\frac{\partial ℒ(x^{\ast }(\alpha ),{\lambda }^{\ast }(\alpha ),\alpha )}{\partial {\alpha }_k},k=1,2,\dots ,l$

где $\partial ℒ/\partial {\alpha }_k=\partial f/\partial {\alpha }_k+\lambda \cdot \partial g/\partial {\alpha }_k$.