Теорема о замкнутом графике

Формулировки

Линейный оператор $T : X \to Y$ между банаховыми пространствами X и Y ограничен тогда и только тогда, когда его график $Γ_{T} : = {(x, T x) \in X \times Y : x \in D (T)}$ замкнут в пространстве $X \times Y$ и оператор определен на всём пространстве X (т.е. $D (T) = X$ ).
Линейный оператор $T : X \to Y$ между банаховыми пространствами X и Y ограничен тогда и только тогда, когда для любой последовательности ${x_{n}}_{n \in ℕ} \subset X$ , такой что $x_{n} \to x$ и $T x_{n} \to y$ , выполняется $y = T x$ .

Первая из приведённых формулировок сохраняет силу и при некотором ослаблении требований; а именно, достаточно потребовать, чтобы X было бочечным линейным топологическим пространством, а Y — пространством Фреше.

Из теоремы о замкнутом графике следует теорема Хеллингера — Тёплица.