Теорема о лямбда-функции

Теорема о лямбда-функции (теорема о Λ-функции) — теорема в математике, утверждающая, что всякая функция с аргументом $x$, представленная в виде приведённого многочлена, а также не имеющая свободного члена является формулой суммы первых $x$ ($x\in \mathbb{N}$) элементов последовательности, заданной полной лямбда-функцией, принимающей в качестве аргумента натуральное число, обозначающее порядковый номер элемента в последовательности.

Теорема доказывается введением понятий полной и неполной лямбда-функций.

Формулировка теоремы

У теоремы о лямбда-функции существует две формулировки. Основная формулировка теоремы исходит из его алгебраического смысла:

Всякая функция-многочлен с натуральным аргументом

$x$

без свободного члена является суммой первых

$x$

членов последовательности, заданной другой функцией-многочленом.

Однако существует ещё одна формулировка, исходящая из её геометрического смысла:

Если из графика, проходящего через начало координат, на оси абсцисс на натуральных позициях провести отрезки-вертикали, параллельные оси ординат, от начала оси абсцисс и до пересечения с графиком и от этих точек пересечения провести лучи, параллельные оси абсцисс, то на этих отрезках-вертикалях точками пересечения с лучами образуются отрезки, длины которых, начиная с нижнего к верхнему, можно задать функцией, аргумент которой - натуральный номер отрезка снизу вверх.

Основные положения

Положение 1. Если для приведённого многочлена $f(x)$ существует функция $g(x)$ такая, что $f(x)=\sum _{k=1}^{x}g(k)$, то такая функция называется полной лямбда-функцией.

Положение 2. Формула (1) полной лямбда-функции выводится исходя из основного уравнения теоремы:

$f(x)=\sum _{k=1}^{x}g(k)$.

Формулу суммы можно разложить на сумму двух элементов, "отделив" от общей формулы суммы последний элемент — $g(x)$:

$f(x)=g(x)+\sum _{k=1}^{x-1}g(k)$.

Из получившейся формулы можно выразить $g(x)$:

$g(x)=f(x)-\sum _{k=1}^{x-1}g(k)$.

С учётом формулы (1) получим формулу (2):

$g(x)=f(x)-f(x-1)$.

Такая формула называется лямбда-функцией и обозначается $f(x)=\mathrm{\Lambda }g(x)$.

Положение 3. При суммировании лямбда-функции $g(x)$ результат будет не всегда равен $f(x)$. В случае, если он не равен $f(x)$, такая лямбда-функция будет называться неполной. Если же при суммировании $g(x)$ всегда будет равен $f(x)$, то такая лямбда-функция будет называться полной. Функция, равная просуммированной лямбда-функции $g(x)$, называется восстановленной и обозначается $Nf(x)$.

Для полной и неполной лямбда-функции справедливо выражение, получаемое из формулы (2):

$Nf(x)=f(x)-f(0)$.

Для полной лямбда-функции справедливо выражение:

$Nf(x)=f(x)$,

откуда следует, что $f(0)=0$.

Доказательство

Теорема подразумевает, что для данной функции $f(x)$ существует лямбда-функция $g(x)$ при $f(0)=0$. При $f(0)=0$, т. е. при отсутствии свободного члена достигается равенство $Nf(x)=f(x)$ из положения 3. Это равенство обозначает, что сумма первых $x$ членов последовательности, заданной лямбда-функцией, при $x\in \mathbb{N}$ равно самой функции, а значит функция и равняется этой сумме.

Геометрический смысл теоремы о лямбда-функции

Жирными цифрами пронумерованы отрезки, длины которых равны значению функции, принимающей в качестве аргумента номер отрезка

Геометрический смысл теоремы о лямбда-функции заключается в том, что в любом графике функции, представленном многочленом и проходящем через начало координат, на оси абсцисс на натуральных позициях можно провести вертикальные линии до пересечения с графиком функции, а из точек пересечения провести параллельные оси абсцисс лучи, в результате чего на линиях образуются пересечения с этим лучом, и длины получившихся отрезков, образованных соседними точками пересечения при нумерации снизу с единицы, можно задать функцией, аргумент которой принимает номер отрезка.

На иллюстрации отображены соответствующие отрезки, справа они пронумерованы. Геометрический смысл заключается в том, что существует такая функция, которая принимает в качестве аргумента номер отрезка и значение которой равно длине отрезка.

Описанная функция — это лямбда-функция $g(x)$ такая, что функция графика $f(x)$ равна $\mathrm{\Lambda }g(x)$ (т. е. $\sum _{k=1}^{x}g(k)$). Так как график проходит через начало координат, у его функции отсутствует свободный член, а значит по отношению к нему применима теорема о лямбда-функции:

$Nf(x)=f(x)-f(0)$.

Данное выражение, при $f(0)=0$ принимает вид $Nf(x)=f(x)$. Так как $Nf(x)=\sum _{k=1}^{x}g(k)$, получим справедливое выражение, подтверждающее геометрический смысл теоремы:

$Nf(x)=f(x)=\sum _{k=1}^{x}g(k)$.

Справедливость этой формулы подтверждает существование функции $g(x)$.

Значение

Теорема о лямбда-функции позволяет разрешать рекуррентные соотношения вида:

$a_n=a_{n-1}+g(x)$.

В таком случае $a_n=\mathrm{\Lambda }g(x)$. Так, для постоянного $g(x)$, равном $C$ будет действовать формула:

$a_n=Cn$.

В качестве значения $a_1$ в таком случае выступит $C$.

См. также

• Уравнение последовательности с конечной производной