Теорема о равнобедренном треугольнике

Теорема о равнобедренном треугольнике — классическая теорема геометрии, утверждающая, что углы, противолежащие боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны. Эта теорема появляется как предложение 5 книги 1 «Начал» Евклида.

Справедливо и обратное утверждение: если два угла невырожденного треугольника равны, то стороны, противоположные им, также равны. Теорема справедлива в абсолютной геометрии, а значит и в геометрии Лобачевского, она выполняется также в сферической геометрии.

Pons asinorum

Чертёж в доказательстве Евклида

Эту теорему, как и (реже) Теорему Пифагора, иногда называют Шаблон:Lang-la — «мост ослов». Словосочетание известно с 1645 г.

Существуют два возможных объяснения такого названия. Одно состоит в том, что чертёж, используемый в доказательстве Евклида напоминал мост. Другое объяснение в том, что это первое серьёзное доказательство в «Началах» Евклида — «ослы» его осилить не могут.

Доказательства

Евклида и Прокла

Евклид доказывает дополнительно, что если боковые стороны треугольника продолжить за основание, то углы между продолжениями и основанием тоже равны. То есть, $\measuredangle CBF=\measuredangle BCG$ на чертеже к доказательству Евклида.

Прокл указывает на то, что Евклид никогда не использует это дополнительное утверждение и его доказательство можно немного упростить, проведя вспомогательные отрезки к боковым сторонам треугольника, а не к их продолжениям. Остальная часть доказательства проходит почти без изменений. Прокл предположил, что второй вывод может быть использован как обоснование в доказательстве последующего предложения, где Евклид не рассмотрел все случаи.

Доказательство Прокла

Доказательство опирается на предыдущее предложение в «Началах» — на то, что сегодня называют признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Доказательство Прокла

Пусть $\mathrm{△}ABC$ — равнобедренный треугольник с равными сторонами $AB$ и $AC$. Отметим произвольную точку $D$ на стороне $AB$ и построим точку $E$ на стороне $AC$ так, что $AD=AE$. Проведём отрезки $DC$, $BE$ и $DE$. Поскольку $AD=AE$, $AB=AC$ и угол $\mathrm{\angle }A$ общий, по равенству двух сторон и угла между ними, $\mathrm{△}BAE\cong \mathrm{△}CAD$, а значит равны их соответствующие стороны и углы. Отсюда угол $\measuredangle ABE=\measuredangle ACD$ и $\measuredangle AEB=\measuredangle ADC$ и $BE=CD$. Поскольку $AB=AC$ и $AD=AE$, вычитания из равных частей равные получаем $BD=CE$. Применяя вновь признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, получаем, что $\mathrm{△}DBE\cong \mathrm{△}ECD$. Отсюда $\measuredangle BDE=\measuredangle CED$ и $\measuredangle BED=\measuredangle CDE$. Вычитания из равных частей равные получаем $\measuredangle BDC=\measuredangle CEB$. Вновь по тому же признаку, получаем, что $\mathrm{△}BDC\cong \mathrm{△}CEB$. Следовательно $\measuredangle B=\measuredangle C$.Шаблон:Ч.т.д.

Папп

Прокл также приводит очень короткое доказательство, приписываемое Паппу. Оно проще и не требует дополнительных построений. В доказательстве применяется признак равенства по двум сторонам и углу между ними к треугольнику и его зеркальному отражению.

Доказательство Паппа

Пусть $\mathrm{△}ABC$ — равнобедренный треугольник с равными сторонами $AB$ и $AC$. Применив признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, получаем $\mathrm{△}ABC\cong \mathrm{△}ACB$. Действительно, эти треугольники имеют общий угол при вершине $A$ и равные прилежащие стороны $AB=AC$. В частности, $\measuredangle B=\measuredangle C$.Шаблон:Ч.т.д.

Другие

Доказательство Паппа иногда сбивает учеников тем, что нужно сравнивать треугольник «с самим собой». Поэтому, часто в учебниках даётся следующее более длинное доказательство. Оно проще чем доказательство Евклида, но использует понятие биссектрисы. В «Началах» построение биссектрисы угла приводится только в предложении 9. Поэтому порядок изложения приходится менять, чтобы избежать возможности кругового рассуждения.

Доказательство

Пусть $\mathrm{△}ABC$ — равнобедренный треугольник с равными сторонами $AB$ и $AC$. Проведём биссектрису угла $\mathrm{\angle }A$. Пусть $X$ — точка пересечения биссектрисы со стороной $BC$. Заметим, что $\mathrm{△}BAX\cong \mathrm{△}CAX$ поскольку $\measuredangle BAX=\measuredangle CAX$, $AB=AC$ и $AX$ общая сторона. Значит $\measuredangle B=\measuredangle C$.Шаблон:Ч.т.д.

Лежандр использует подобные конструкции в своих «Éléments de géométrie», но, принимая $X$ как середину $BC$. Доказательство аналогично, но использует признак равенства треугольников по трём сторонам.