Теорема о частном

Теорема о частном — утверждение о том, что если результат умножения вектора на величину с произвольным числом верхних и нижних индексов является тензором для любого вектора, то величина с верхними и нижними индексами является тензором.

Формулировка

Пусть величина $P_{\lambda \mu \nu }$ такова, что для любого вектора $A^{\nu }$ величина $A^{\lambda }{P}_{\lambda \mu \nu }$ является тензором. В этом случае величина $P_{\lambda \mu \nu }$ является тензором.

Доказательство

Рассмотрим преобразование от старой криволинейной системы координат, где вектор имеет координаты $x^{\mu }$ к новой системе координат, где этот же вектор имеет координаты $x^{{\mu }^{\prime }}$. Условимся обозначать $\frac{\partial x^{{\mu }^{\prime }}}{\partial x^{\nu }}=x_{,\nu }^{{\mu }^{\prime }}$. Обозначим величину $Q_{\mu \nu }=A^{\lambda }{P}_{\lambda \mu \nu }$. По условию, $Q_{\mu \nu }$ есть тензор, поэтому $Q_{\beta \gamma }=Q_{{\mu }^{\prime }{\nu }^{\prime }}{x}_{,\beta }^{{\mu }^{\prime }}{x}_{,\gamma }^{{\nu }^{\prime }}$. Тогда $A^{\alpha }{P}_{\alpha \beta \gamma }=A^{{\lambda }^{\prime }}{P}_{{\lambda }^{\prime }{\mu }^{\prime }{\gamma }^{\prime }}{x}_{,\beta }^{{\mu }^{\prime }}{x}_{,\gamma }^{{\nu }^{\prime }}$. Так как $A^{\lambda }$ является вектором, по правилам преобразования векторов имеем: $A^{{\lambda }^{\prime }}=A^{\alpha }{x}_{,\alpha }^{{\lambda }^{\prime }}$. Таким образом: $A^{\alpha }{P}_{\alpha \beta \gamma }=A^{\alpha }{x}_{,\alpha }^{{\lambda }^{\prime }}{P}_{{\lambda }^{\prime }{\mu }^{\prime }{\nu }^{\prime }}{x}_{,\beta }^{{\mu }^{\prime }}{x}_{,\gamma }^{{\nu }^{\prime }}$ Это равенство должно быть верным для всех $A^{\alpha }$, следовательно $P_{\alpha \beta \gamma }=P_{{\lambda }^{\prime }{\mu }^{\prime }{\nu }^{\prime }}{x}_{,\alpha }^{{\lambda }^{\prime }}{x}_{,\beta }^{{\mu }^{\prime }}{x}_{,\gamma }^{{\nu }^{\prime }}$. Величина $P_{\alpha \beta \gamma }$ является тензором. Доказательство нетрудно обобщить на любое число верхних и нижних индексовШаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Книга