Теоремы Томсона и Тета

Теоремы Томсона и Тета ― формулируют условия, необходимые для того, чтобы можно было стабилизировать гироскопическими силами неустойчивую потенциальную систему. Были доказаны в 1879 г.. Пользуясь теоремой Томсона и Тета, можно исследовать устойчивость волчкаШаблон:Sfn, системы инерциальной навигацииШаблон:Sfn и гироскопического однорельсового вагонаШаблон:Sfn.

Первая теорема Томсона и Тета

Если неустойчивость невозмущенного движения потенциальной системы имеет нечётную степень, то стабилизировать движение нельзя никакими гироскопическими силами.Шаблон:Sfn

Вторая теорема Томсона и Тета

Если невозмущенное движение $z=0$ и $\dot{z}=0$ потенциальной системы устойчиво, то при добавлении произвольных гироскопических и диссипативных сил (не обязательно полной диссипации) устойчивость движения сохраняется.Шаблон:Sfn

Третья теорема Томсона и Тета

Если невозмущенное движение $z=0$ и $\dot{z}=0$ устойчиво при одних потенциальных силах, то оно становится асимптотически устойчивым при добавлении произвольных гироскопических и диссипативных сил с полной диссипацией.Шаблон:Sfn

Четвёртая теорема Томсона и Тета

Невозмущенное движение $z=0$ и $\dot{z}=0$, неустойчивое под действием потенциальных сил, остаётся неустойчивым при добавлении произвольных гироскопических и диссипативных сил с полной диссипацией.Шаблон:Sfn

Пояснения

Степенью неустойчивости называется число отрицательных коэффициентов $c_k$ в системе $s$ уравнений $\ddot{z_1}+c_1{z}_1=0,...\ddot{z_s}+c_s{z}_s=0$, описывающей движение возмущённой системы.Шаблон:Sfn

Гироскопическими называются силы $F=G\dot{x}$, линейно зависящие от скоростей и имеющие кососимметрическую матрицу коэффициентов $G=\Vert g_{kj}\Vert$Шаблон:Sfn

Диссипативными называются силы $F=B\dot{x}$, линейно зависящие от скоростей и имеющие симметрическую матрицу коэффициентов $B=\Vert b_{kj}\Vert$, такую, что квадратичная форма $F=\frac{1}{2}B\dot{x}\cdot \dot{x}$ положительна.Шаблон:Sfn

Литература

• Шаблон:Книга