Теория амёб

Теория амёб — раздел комплексного анализа, изучающий геометрию алгебраических множеств. Находит широкое применение в алгебраической и тропической геометрии.

Определения

Пусть $V$ — множество нулей полинома Лорана

$p(z)=\sum _{\alpha \in A}{c}_{\alpha }{z}_1^{{\alpha }_1}\cdot \dots \cdot z_n^{{\alpha }_n},A\subset {\mathbb{Z}}^n,n⩾1$.

Амёбой ${𝒜}_V$ алгебраического множества $V$ называется его образ при логарифмическом проектировании

$\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}:(ℂ\setminus \{0\}{)}^n\to {ℝ}^n$,

определяемом формулой $\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}(z)=(\log |z_1|,\dots ,\log |z_n|)$.

Коамёбой ${𝒜}_V^{*}$ алгебраического множества $V$ называется его образ при отображении

$\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{g}:(ℂ\setminus \{0\}{)}^n\to S^1\times \dots \times S^1$,

определяемом формулой $\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{g}(z)=(\arg z_1,\dots ,\arg z_n)$.

Свойства

Амёба и коамёба двойственные объекты — являются проекциями $2\pi i$-периодического множества $\mathrm{L}\mathrm{n}V=\{\zeta :p(e^{{\zeta }_1},\dots ,e^{{\zeta }_n})=0\}$ на вещественное и мнимое подпространство. Теория амёб позволяет наглядно изучать геометрию гиперповерхностей и кривых, расположенных в 4-х и 6-и мерном пространстве (${ℂ}^2$, ${ℂ}^3$), что явилось причиной бурного развития теории в начале XXI века.

Компоненты дополнения ${ℝ}^n\setminus {𝒜}_V$ всегда выпуклы.

Ссылки

• Амёбы комплексных аналитических множеств