Тест Шура

В функциональном анализе тест Шура (названный в честь математика Исая Шура) применяется для интегральных операторов с ядром, действующим $L^2\to L^2$.

Такой тест позволяет дать оценку норме интегрального оператора, что позволяет делать вывод о его непрерывности.

Определение

Пусть $S,T$ это два измеримых множества (например ${ℝ}^n$), пусть $U$ это интегральный оператор:

$(Uf)(s)=\underset{T}{\int }K(s,t)f(t)dt$ с ядром $K(s,t):S\times T\to ℝ(ℂ)$.

Если найдутся функции $\varphi :S\to ℝ>0$ и $\psi :T\to ℝ>0$ и числа $A,B>0$ такие что:

$(1)\underset{S}{\int }|K(s,t)|\varphi (s)ds\le A\psi (t)$

для почти всех $t\in T$ и

$(2)\underset{T}{\int }|K(s,t)|\psi (t)dt\le B\varphi (s)$

для почти всех $s\in S$,

Тогда $U$ непрерывный оператор действующий $U:L^2\to L^2$ с нормой: $\Vert U{\Vert }_{L^2\to L^2}\le \sqrt{AB}.$

(Функции $\varphi$, $\psi$ называют функциями теста Шура)

Доказательство

$|(Uf)(s)|=|\underset{T}{\int }K(s,t)\cdot f(t)dt|\le \underset{T}{\int }\sqrt{|K(s,t)|\cdot \psi (t)}\cdot \sqrt{|K(s,t)|\cdot |f(t){|}^2\frac{1}{\psi (t)}}\cdot dt\le$
по неравенству Шварца:
$\le \sqrt{\underset{T}{\int }|K(s,t)|\cdot \psi (t)\cdot dt}\cdot \sqrt{\underset{T}{\int }|K(s,t)|\cdot |f(t){|}^2\frac{1}{\psi (t)}\cdot dt}$
возведем в квадрат и проинтегрируем по $S$:
$\underset{S}{\int }|(Uf)(s){|}^2\cdot ds\le B\underset{S}{\int }\varphi (s)\underset{T}{\int }|K(s,t)|\cdot |f(t){|}^2\frac{1}{\psi (t)}\cdot dtds=$
далее по теореме Фубини:
$=B\underset{T}{\int }\frac{|f(t){|}^2}{\psi (t)}\underset{S}{\int }|K(s,t)|\cdot \varphi (s)\cdot dsdt\le AB\underset{T}{\int }|f(t){|}^2\cdot dt$
следовательно извлекая корень:
$||U(f)|{|}_2\le \sqrt{AB}\cdot ||f|{|}_2$

См. также

• Непрерывный оператор
• Шур, Исай