Тождество Кассини

Тождество Кассини — тождество, утверждающее, что для $n$-го числа Фибоначчи выполняется следующее соотношение:

$F_{n-1}{F}_{n+1}-F_n^2=(-1{)}^n$.Шаблон:Sfn

Тождество Каталана обобщает это соотношение:

$F_n^2-F_{n-r}{F}_{n+r}=(-1{)}^{n-r}{F}_r^2$.

Формула Кассини была открыта в 1680 году Джованни Кассини, бывшим в то время директором Парижской обсерватории, доказана Робертом Симсоном в 1753 году. В 1879 году Эжен Каталан обобщил результат.

Быстрое доказательство тождества Кассини можно дать, если представить левую часть тождества в виде определителя матрицы из чисел Фибоначчи размером 2×2, показав, что эта матрица является $n$-ой степенью матрицы с определителем −1Шаблон:Sfn:

$F_{n-1}{F}_{n+1}-F_n^2=\det \left[\begin{array}{cc}{F}_{n+1}& F_n\\ F_n& F_{n-1}\end{array}\right]=\det {\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]}^n={(\det \left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right])}^n=(-1{)}^n$

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья

Ссылки

• Yark, Joey. «proof of Cassini’s identity» (version 21). PlanetMath.org. Freely available at http://planetmath.org/proofofcassinisidentity
• [1]
• [2]
• Cassini formula for Fibonacci numbers
• Fibonacci and Phi Formulae
• George E. Andrews: Number Theory (1971).
• Graham R.L., Knuth D.E., Patashnik O., Concrete Mathematics, Second Edition, Addison-Wesley, 1994, pages 290—301.
• Michael Z. Spivey, Fibonacci Identities via the Determinant Sum Property, Integre Technical Publishing Co., Inc. College Mathematics Journal 37:4 April 14, 2006