Тождество Поллачека — Спитцера

То́ждество Полла́чека — Спи́тцера — тождество, связывающее характеристическую функцию сумм независимых случайных величин.

Формулировка

При $|z|<1$ , $Im\lambda ⩾0$ справедливо тождество: $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^{n}M{e}^{\lambda \overline{S_n}}=\exp 𝒻\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{k}M{e}^{i\lambda max(0,S_k)}ℊ$

Пояснения

В формулировке теоремы $𝒻{\xi }_kℊ$ последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин. Обозначим $S_n=\sum _{k=1}^n{\xi }_k,S_0=0$, а $\overline{S_n}=\max (0,{\xi }_n)=\max (0,S_1,...,S_n)$. Тождество связывает характеристическую функцию $\overline{S_n}$ с характеристическими функциями $\max (0,S_n)$.

Литература

• Шаблон:Публикация