Топологическое тело

Топологическое тело — тело, наделённое топологией, согласованной с основными операциями, то есть топологическое кольцо с единицей, в котором на всех ненулевых элементах определена непрерывная операция взятия обратного элемента.

Основной результат о топологических телах получен Львом Понтрягиным в 1931 году: всякое локально компактное связное топологическое тело является либо полем вещественных чисел, либо полем комплексных чисел, либо телом кватернионовШаблон:Sfn. Колмогоров использовал этот результат при прямом построении действительной и комплексной проективной геометрии.

Теорема Ковальского: локально компактное несвязное тело $L$ всюду разрывно, то есть не содержит связных подмножеств, и могут иметься два взаимно исключающих случая:

• тело $L$ имеет характеристику нуль, и тогда в нём содержится поле $K_0^P=K$ $p$-адических чисел;
• тело $L$ имеет характеристику $p$ и тогда в нём содержится поле $K_t^P=K$ рядов относительно некоторого $t$.

В обоих случаях элементы поля $K$ перестановочны по умножению с элементами тела $L$ и имеется конечный линейный базис тела $L$ над полем $K$. Именно, такая система элементов $e,l_1,\dots ,l_{\nu }$ что каждый элемент $x\in L$ записывается в виде $x=x_0{l}_0+x_1{l}_1+\dots +x_{\nu }{l}_{\nu }$ ($x_i\in K$)Шаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Книга:Общая алгебра
• Шаблон:Книга