Третья проблема Гильберта

Третья проблема Гильберта — третья из проблем, поставленных Давидом Гильбертом в его знаменитом докладе на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Эта проблема посвящена вопросам равносоставленности многогранников: возможности разрезания двух многогранников равного объёма на конечное число равных частей-многогранников.

Постановка такого вопроса была связана с тем, что, с одной стороны, на плоскости любые два многоугольника равной площади равносоставлены — как утверждает теорема Бойяи — Гервина. С другой стороны, имевшиеся способы доказательства формулы для объёма тетраэдра (1/3 произведения высоты на площадь основания) так или иначе были связаны с предельными переходами, и тем самым с аксиомой Архимеда. Хотя буквально в предложенной Гильбертом формулировке речь шла о равносоставленности тетраэдров (а, точнее, о доказательстве невозможности такого разбиения в общем случае), она немедленно и естественно расширяется до вопроса о равносоставленности произвольных многогранников заданного объёма (а, точнее, о необходимых и достаточных для этого условиях).

Третья проблема оказалась самой простой из проблем Гильберта: пример неравносоставленных тетраэдров равного объёма был предъявлен уже через год, в 1901 году, в работе ученика Гильберта М. В. Дена. А именно, им была построена (принимающая значения в некоторой абстрактной группе) величина — инвариант Дена — значения которой на равносоставленных многогранниках равны, и предъявлен пример тетраэдров равного объёма, для которых значения инварианта Дена различаются.

В дальнейшем Шаблон:Нп3 в своей работе 1965 года показал, что совпадение объёма и инварианта Дена являются не только необходимыми, но и достаточными условиями равносоставленности многогранников.

Формулировка проблемы

Третья проблема Гильберта формулируется так:

Инвариант Дена

Инвариант, построенный Деном, принимает значения в абстрактной группе (и, более того, векторном пространстве над $\mathbb{Q}$)

$V=ℝ{\otimes }_{\mathbb{Q}}ℝ/⟨\{l\otimes \pi \mid l\in ℝ\}⟩.$

А именно, для многогранника Шаблон:Math с длинами рёбер $l_1,\dots ,l_n$ и соответствующими им двугранными углами ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ инвариант Дена Шаблон:Math полагается равным

$D(P):=\sum _i{l}_i\otimes {\alpha }_i\in V$

При разрезании многогранника на части значение суммы «длина ребра $\otimes$ прилежащий угол» может изменяться только при возникновении/исчезновении новых рёбер, возникающих внутри или на границе. Но у таких рёбер сумма прилегающих к ним двугранных углов равна $2\pi$ или $\pi$ соответственно, поэтому как элемент фактора Шаблон:Math инвариант Дена не изменяется.

Пример

Примером применения инварианта Дена является неравносоставленность куба и правильного тетраэдра равного ему объёма: для куба с ребром Шаблон:Math инвариант Дена равен $12l\otimes \frac{\pi }{2}=6l\otimes \pi =0$, а для правильного тетраэдра с ребром Шаблон:Math —

$6a\otimes 2\arctan \frac{1}{\sqrt{2}}\ne 0,$

поскольку $\arctan \frac{1}{\sqrt{2}}\notin \mathbb{Q}\pi .$

Ссылки

• Шаблон:MathWorld

Литература

• Шаблон:Книга Шаблон:Wayback

• Болтянский В. Г. Третья проблема Гильберта

• Dehn, M. «Über raumgleiche Polyeder.» Nachr. Königl. Ges. der Wiss. zu Göttingen f. d. Jahr 1900, 345—354, 1900.
• Dehn, M. «Über den Rauminhalt.» Math. Ann. 55, 465—478, 1902.

• D. Benko. «A new approach to Hilbert’s third problem». Amer. Math. Monthly 114.8 (2007), p. 665—676.

• P. Cartier, Décomposition des polyèdres : le point sur le troisième problème de Hilbert, Séminaire Bourbaki, 1984-85, n° 646, p. 261—288.

• Sydler, J.-P. «Conditions nécessaires et suffisantes pour l'équivalence des polyèdres de l’espace euclidean à trois dimensions.» Comment. Math. Helv. 40, 43-80, 1965.