Треугольник трёх внешних биссектрис

Треуго́льник трёх вне́шних биссектри́с$\mathrm{\Delta }{J}_A{J}_B{J}_C$

Эллипс Мандарта

Треуго́льник трёх вне́шних биссектри́с (треуго́льник це́нтров вневпи́санных окру́жностей) $\mathrm{\Delta }{J}_A{J}_B{J}_C$— треугольник, образованный точками пересечения внешних биссектрис друг с другом в центрах вневписанных окружностей исходного треугольника. (см. рис.)

Свойства

• Центр окружности, проходящей через центры $J_A,J_B,J_C$ вневписанных окружностей, является точкой Бевэна.
• Исходный треугольник $\mathrm{\Delta }ABC$ является ортотреугольником для треугольника внешних биссектрис.
• Описанная окружность исходного треугольника является для треугольника внешних биссектрис окружностью Эйлера.
• Описанная окружность исходного неравнобедренного (в общем случае) треугольника пересекает стороны треугольника внешних биссектрис в шести разных точках. Три из них являются вершинами исходного треугольника, а три других делят стороны треугольника внешних биссектрис пополам (см. свойства окружности Эйлера).
• Точка пересечения симедиан треугольника трёх внешних биссектрис является центром эллипса Мандара исходного опорного треугольника.

Ось внешних биссектрис или антиортовая ось (antiorthic axis) — трилинейная поляра центра вписанной окружности (инцентра) треугольника ABC)

• Все три основания D, E и F трех внешних биссектрис соответственно AD, CE и BF внешних углов ортотреугольника $ABC$ для треугольника трёх внешних биссектрис $J_1,J_2,J_3$ лежат на одной прямой, называемой осью внешних биссектрис или антиортовой осью DEF (antiorthic axis) ортотреугольника $ABC$ (см. рис.). Эта ось также является трилинейной полярой центра вписанной окружности (инцентра).

Свойства подобия родственных треугольников

• Исходный треугольник $\mathrm{\Delta }ABC$ по отношению к ортотреугольнику является треугольником трех внешних биссектрис.
• Ортотреугольник треугольника трех внешних биссектрис, а также треугольник трех внешних биссектрис ортотреугольника совпадают между собой и совпадают с исходным треугольником.
• Ортотреугольник и тангенциальный треугольник подобны.
• Ортотреугольник ортотреугольника и исходный треугольник подобны.
• Треугольник трёх внешних биссектрис треугольника трех внешних биссектрис и исходный треугольник подобны.
• Ортотреугольник треугольника Жергонна и исходный треугольник подобны.
• Выше указанные свойства подобия родственных треугольников являются следствием ниже перечисленных свойств параллельности (антипараллельности) сторон родственных треугольников.

Свойства параллельности (антипараллельности) сторон родственных треугольников

• Стороны данного остроугольного треугольника антипараллельны соответствующим сторонам ортотреугольника, против которых они лежат.
• Стороны тангенциального треугольника антипараллельны соответствующим противоположным сторонам данного треугольника (по свойству антипараллельности касательных к окружности).
• Стороны тангенциального треугольника параллельны соответствующим сторонам ортотреугольника.
• Пусть, точки касания вписанной в данный треугольник окружности соединены отрезками, тогда получится треугольник Жергонна, и в полученном треугольнике проведены высоты. В этом случае прямые, соединяющие основания этих высот, параллельны сторонам исходного треугольника. Следовательно ортотреугольник треугольника Жергонна и исходный треугольник подобны.