Тропическая геометрия

Тропическая прямая на плоскости

Тропическая геометрия — появившаяся в 2000-е годы область в математике, исходно возникшая в информатике, и связанная с алгебраической и симплектической геометрией. Исследуемые в ней объекты являются пределом образов амёб обычных алгебраических многообразий при вырождении последних.Шаблон:Sfn

Название «тропическая» отдаёт честь бразильской школеШаблон:Sfn — пионерским работам бразильского математика венгерского происхождения Шаблон:Нп5, исследовавшего тропическое полукольцо в связи с вопросами информатики и теории оптимизации.

Независимо от бразильской школы термин «тропическая» к тому же разделу математики с середины 1980-х годов применял В. П. Маслов. По его мысли, «идемпотентный (тропический) анализ» через посредство термодинамики описывал с экономической точки зрения европейскую колонизацию тропической Африки. Термин «идемпотентный» в научной среде не прижился, а термин «тропическая» применительно к новой математике, как более благозвучный и ёмкий, оказался очень популярным, хотя разные школы вкладывают в него разный смысл.

Основные понятия

Тропические кривые второй степени (в разных масштабах). Показаны соответствующие многочлены. Числа у рёбер показывают их кратность, если она не соответствует их наклону.

Тропические кривые третьей степени.

• Тропическое полукольцо (или тропическое полуполе) — множество вещественных чисел $ℝ$, снабжённое операциями тропического сложения $\oplus$ и тропического умножения $\odot$

$x\oplus y=\max (x,y),x\odot y=x+y.$

• Тропический многочлен степени $d$ на плоскости — кусочно-аффинная функция вида

$f(x,y)=\underset{i+j\le d}{⨁}{a}_{i,j}\odot x^{\odot i}\odot y^{\odot j}=\underset{i+j\le d}{\max }(ix+jy+a_{i,j}).$

Аналогично, тропический многочлен в общем случае — кусочно-аффинная функция вида

$f(x_1,\dots ,x_n)=\underset{|J|\le d}{⨁}{a}_J\odot x^{\odot J}=\underset{|J|\le d}{\max }(a_J+\sum _i{J}_i{x}_i).$

• Тропическая кривая на плоскости, соответствующая данному тропическому многочлену $f$ степени $d$ — граф на плоскости, вершины и рёбра (конечные и бесконечные) которого образуют множество точек негладкости функции $f$. Рёбра этого графа считаются снабжёнными кратностями: ребро, разделяющее области линейности, отвечающие набору степеней $(i,j)$ и $(i^{\prime },j^{\prime })$, снабжается кратностью, равной наибольшему общему делителю разностей $i-i^{\prime }$ и $j-j^{\prime }$.
• В частности, тропическая прямая есть объединение трёх лучей, исходящих из некоторой точки $(x_0,y_0)$ и направленных вниз, влево и вправо-вверх под 45°. Тропические прямые обладают свойствами, аналогичными свойствам обычных прямых: через любые две точки общего положения проходит ровно одна тропическая прямая, и две тропические прямые общего положения пересекаются в единственной точке.

Литература

• Шаблон:Книга

• Шаблон:Книга