Улыбка волатильности

Улыбка волатильности (volatility smile) - в сфере финансов - зависимость вмененной (implied) волатильности опционов от страйка. Под вмененной волатильностью понимается обычно параметр волатильности в формулах оценки опционов типа Блэка/Блэка-Шоулза, при которых модельная оценка стоимости опциона с данным страйком совпадает с рыночной ценой такого опциона. Название связано с тем, что графическое изображение такой зависимости в некоторых случаях имеет форму "улыбки" с минимумом около ATM-страйка. Совокупность улыбок волатильности для разных срочностей образуют поверхность волатильности (фактически это функция двух переменных - срока и страйка опциона).

Сама модель Блэка-Шоулза никакой зависимости волатильности от страйка не предполагает (допускается зависимость лишь от срока опциона в случае когда волатильность предполагается детерминированной функцией времени). Улыбка волатильности возникает в силу неточности логнормальной модели, лежащей в основе формулы Блэка-Шоулза. Улыбка волатильности возникает также и в рамках формулы Башелье (здесь улыбка "абсолютной" волатильности в отличие от "относительной" волатильности Блэка) также в силу неточности нормальной модели.

Улыбка волатильности может "объясняться" альтернативными моделями оценки опционов, например, в некоторой степени улыбка волатильности Блэка возникает в рамках логнормальной модели со сдвигом (shifted) или в рамках более общей CEV-модели, содержащей в качестве предельных случаев модели Башелье и Блэка. Более эффективно моделировать улыбку (и в целом поверхность) волатильности позволяют модели стохастической волатильности (например, SABR)

Формальное определение

Рассмотрим понятие улыбки волатильности на примере модели Блэка / Блэка-Шоулза. Вмененной (спот-) волатильностью для опциона срочности T и страйка K называется величина $\sigma (K,T)$, являющаяся решением уравнения:

$V^M(K,T)=zP(0,T)[F_{T}N(zd)-KN(z(d-v_T)],d=\frac{1}{v_T}\ln \frac{F_T}{K}+0.5v_T,v_T=\sigma (K,T)\sqrt{T}$

где

$V^M(K,T)$ - рыночная цена соответствующего опциона

$z$ - индикатор типа опциона (колл z=1, пут z=-1)

$F_T$ - форвардная цена базисного актива

$P(0,T)$ - дисконт-фактор

Функция двух переменных $\sigma (K,T)$ представляет собой поверхность волатильности. Часто вместо страйка используют отношение форварда и страйка (или наоборот, или логарифм этой величины, или более сложный вариант - дельту опциона). При фиксированном сроке эта функция одной переменной, которая и представляет собой улыбку волатильности. Если же фиксируется страйк, то имеем срочную структуру волатильности.

Формула Дюпиэра

$\frac{\partial C}{\partial T}=\frac{1}{2}{\sigma }^2(K,T;S_0)K^2\frac{{\partial }^{2}C}{\partial K^2}-(r-d)K\frac{\partial C}{\partial K}-dC$