Универсум Гротендика

Униве́рсум Гротенди́ка в математике — непустое множество $𝒰$, такое что:

1. если $x\in 𝒰$ и $y\in x$, то $y\in 𝒰$;
2. если $x,y\in 𝒰$, то $\{x,y\}\in 𝒰$;
3. если $x\in 𝒰$, то $𝒫(x)\in 𝒰$;
4. если $(x_i,i\in I)$ — семейство элементов $𝒰$ и $I\in 𝒰$, то $\bigcup _{i\in I}{x}_i\in 𝒰$.

Универсумы Гротендика используются в теории категорий в качестве альтернативы собственным классам. Идея универсумов принадлежит Александру Гротендику, который впервые описал их и применил в теории топосов на семинаре SGA.

Свойства

Следующие свойства универсумов Гротендика следуют сразу же из определения:

• если $x\in 𝒰$, то одноэлементное множество $\{x\}$ также принадлежит $𝒰$;
• если $x\in 𝒰$ и $y$ — подмножество в $x$, то $y\in 𝒰$;
• если $x,y\in 𝒰$, то упорядоченная пара $(x,y)$ также принадлежит $𝒰$;
• если $x,y\in 𝒰$, то объединение $x\cup y$ и декартово произведение $x\times y$ принадлежат $𝒰$;
• если $(x_i,i\in I)$ — семейство элементов $𝒰$ и $I\in 𝒰$, то $\prod _{i\in I}{x}_i\in 𝒰$;
• если $x\in 𝒰$, то $card(x)<card(𝒰)$ (в частности, универсум Гротендика не является своим собственным элементом).

Аксиома об универсумах

В SGA4 вводится следующая аксиома об универсумах:

• Для любого множества $x$ существует универсум $𝒰$ такой, что $x\in 𝒰$.

Связанные определения

Пусть выбран некоторый универсум Гротендика $𝒰$.

• Множество $x$ называется $𝒰$-малым, если $x\in 𝒰$;
• Категория $𝐂$ называется $𝒰$-малой, если множества её объектов и морфизмов являются $𝒰$-малыми;
• Категория $𝐂$ называется локально $𝒰$-малой, если все её hom-множества являются $𝒰$-малыми.

В частности, категория $𝒰-𝐒𝐞𝐭$ всех $𝒰$-малых множеств не является $𝒰$-малой, но является локально $𝒰$-малой.