Уравнение Фишера (математика)

Шаблон:Другие значения Уравнение Фишера (Шаблон:Lang-en, также известно как уравнение Колмогорова — Петровского — Пискунова, уравнение КПП или уравнение Фишера — КПП) — нелинейное уравнение в частных производных второго порядка:

$\frac{\partial w}{\partial t}=\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}+aw(1-w).$

История

Уравнение названо в честь статистика и биолога Рональда Эйлмера Фишера, предложившего его в 1937 году в контексте популяционной динамики для описания пространственного распределения выгодных аллелей и нашедшего его решение в виде бегущей волны.

Применение

Уравнение Фишера встречается в задачах тепло- и массообмена, теории горения, биологии и экологии, в физике плазмы и задачах теории фазовых переходов. Оно описывает, например, массоперенос в двухкомпонентной неподвижной смеси при наличии объемной химической реакции квазипервого порядка. Кинетическая функция $f(w)=aw(1-w)$ моделирует также автокаталитическое цепное превращение в теории горения.

Решения

Для скорости волны $c\ge 2\sqrt{a}$ уравнение допускает решения в виде бегущей волны $w(x,t)=w(x\pm ct)=w(z)$, причем $\underset{z\to -\mathrm{\infty }}{\lim }=0,\underset{z\to +\mathrm{\infty }}{\lim }=1$. Форма решений уникальна для каждой длины волны. Для $c<2\sqrt{a}$ таких решений не существует.

В случае скорости $c=\pm \frac{5}{\sqrt{6}}$ могут быть получены следующие точные решения:

$w(z)={[\pm 1+C\exp (\mp \frac{z}{\sqrt{6}})]}^{-2},$

$w(z)=\frac{1+2C\exp (\mp \frac{z}{\sqrt{6}})}{{[1+C\exp (\mp \frac{z}{\sqrt{6}})]}^2},$

где $C$ — произвольная постоянная.