Уравнения Аппеля

Шаблон:Физическая теория В классической механике уравне́ния Аппе́ля рассматривают как альтернативную формулировку общих уравнений движения, предложенных Ньютоном. Выписаны Полем Аппелем в 1900 . Несмотря на то, что эти уравнения полностью эквивалентны уравнениям, получаемым из законов Ньютона и принципа наименьшего действия, уравнения Аппеля в ряде случаев оказываются более удобными, в частности, в случае, когда система стеснена механическими связями.

Формулировка

Пусть задана механическая система из $N$ материальных точек с массами $m_1,m_2,\dots ,m_N$, на которые наложены геометрические (1) и линейные кинематические (2) связи:

(1) $f_{\alpha }({𝐫}_1,...,{𝐫}_N,t)=0,\alpha =1,...,d$

(2) $\sum _{\nu =1}^N{𝐀}_{\beta \nu }({𝐫}_1,...,{𝐫}_N,t)\cdot {\dot{𝐫}}_{\nu }+A_{\beta }({𝐫}_1,...,{𝐫}_N,t)=0,\beta =1,...,g$

Требуется описать движение системы, если известны активные силы ${𝐅}_1,...,{𝐅}_N$ (силы, действующие на каждую точку, зависят от времени, расположения всех точек и их скоростей), и известно начальное состояние системы (положение и скорости всех точек в начальный момент времени).

Одно из важнейших предположений о механической системе, необходимое для справедливости уравнений Аппеля, состоит в том, что возникающие реакции связей предполагаются идеальными, то есть суммарно не производящими работы на любом виртуальном перемещении точек системы.

В случае голономной системы, когда кинематические связи отсутствуют или интегрируемы (то есть сводятся к геометрическим связям), уравнения Аппеля имеют вид:

(3) $\frac{\partial S}{\partial {\ddot{q}}_k}=G_k,k=1,...,n$

где

$n=3N-d$ — число геометрических степеней свободы системы;

$q_1,...,q_n$ — произвольная система независимых между собой обобщённых координат, параметризующих пространство возможных геометрических положений системы во всякий момент времени (таким образом, использование этих координат полностью учитывает геометрические связи, наложенные на систему);

$G_1,...,G_n$ — «обобщенные силы» — коэффициенты в разложении элементарной работы активных сил на произвольном виртуальном перемещении $\delta 𝐫=(\delta {𝐫}_1,...,\delta {𝐫}_N)$:

$\delta A={𝐅}_1\delta {𝐫}_1+\dots +{𝐅}_N\delta {𝐫}_N=G_1\delta q_1+\dots +G_n\delta q_n$

(4) $S=\frac{1}{2}\sum _{\nu =1}^N{m}_{\nu }{\ddot{𝐫}}_{\nu }^2$ — так называемая «энергия ускорений», в формуле (3) величина $S$ — функция времени, обобщённых координат и их производных 1-го и 2-го порядков.

В неголономном случае уравнения Аппеля имеют практически тот же самый вид (3), однако в этом случае в формулах участвуют не обобщённые координаты, а псевдокоординаты, которые вводятся следующим образом:

(5) ${\dot{\pi }}_k=\sum _{i=1}^n{\lambda }_{ik}{\dot{q}}_i+{\lambda }_k,k=1,...,n-g$.

В этих обозначениях точка сверху над именем переменной ${\pi }_k$ не обозначает операцию дифференцирования по времени, а составляет часть единого имени переменной. Переменной ${\pi }_k$, производная которой по времени совпадала бы с написанным выражением для любых путей движения системы, может не существовать, поэтому о ней говорят как о псевдопеременной (или о псевдокоординате). Во все дальнейшие формулы будут входить либо её производные (как минимум первого порядка), либо дифференциалы, поэтому её псевдо-сущность никак не проявится.

Коэффициенты ${\lambda }_{ik}$ и ${\lambda }_i$ могут зависеть от времени и координат точек. Кроме того, они должны удовлетворять условию, чтобы определитель матрицы коэффициентов при переменных ${\dot{q}}_i$ в линейной системе, образованной уравнениями (5) и (2) (записанных в обобщённых координатах), не обращался бы в ноль.

В случае неголономной системы уравнения Аппеля имеют вид:

(6) $\frac{\partial S}{\partial {\ddot{\pi }}_k}=G_k,k=1,...,n-g$

где

$n=3N-d$ — число геометрических степеней свободы системы;

${\pi }_1,...,{\pi }_{n-g}$ — система псевдокоординат;

$G_1,...,G_{n-g}$ — «обобщенные силы» — коэффициенты в разложении элементарной работы активных сил: $\delta A=G_1\delta {\pi }_1+\dots +G_n\delta {\pi }_{n-g}$;

функция S — та же, что в (4), но выраженная через переменные $t,q_1,...,q_n,{\dot{\pi }}_1,...,{\dot{\pi }}_{n-g},{\ddot{\pi }}_1,...,{\ddot{\pi }}_{n-g}$ (в обозначениях переменных ${\ddot{\pi }}_i$ только одна из точек — производная по времени!).

Чтобы получить полную систему уравнений движения системы, к уравнениям Аппеля (6) необходимо добавить уравнения кинематических связей (2) и формулы псевдокоординат (5).

Литература

Публикации П. Аппеля по данному вопросу

• PDF copy of Appell’s article at Goettingen University
• PDF copy of a second article on Appell’s equations and Gauss’s principle

Дополнительная литература

• Берёзкин Е. Н. Курс теоретической механики — 2-е издание, переработанное и дополненное — Шаблон:М: Изд-во МГУ — 1974 г., 645 с.