Уравнения Дена — Соммервиля

Уравнения Дена — Сомервиля — полный набор линейных соотношений на количество граней разных размерностей у простого многогранника. Эти уравнения можно переписать для симплициальных многогранников поскольку последние двойственны к простым многогранникам.

Формулировка

Для данного простого $n$-мерного многогранника $P$ обозначим через $f_k$ количество граней $P$ размерности $k$; в частности, $f_n=1$. Рассмотрим формальную сумму

$\sum _k{f}_k\cdot (t-1{)}^k=\sum _k{h}_k\cdot t^k$

где $h_k=\sum _{i⩾k}{f}_i(-1{)}^{i-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{k})$, то есть коэффициенты $h_k$ возникают естественным образом при раскрытии скобок левой суммы.

Тогда уравнения Дена — Сомервиля имеют вид

$h_k=h_{n-k}$

для каждого целого $k$.

Связанные определения

• Последовательность $(f_0,f_1,\dots ,f_n)$ называется f-вектором многогранника.
• Последовательность $(h_0,h_1,\dots ,h_n)$ называется h-вектором многогранника.
  • Если $\ell :{ℝ}^n\to ℝ$ — линейная функция общего положения, то есть все вершины многогранника $P$ лежат на разных уровнях $\ell$, тогда $h_k$ равно числу вершин $P$ индекса $k$; то есть ровно $k$ рёбер из этой вершины идут вниз по $\ell$. Уравнения Дена — Сомервиля получаются заменой $\ell$ на $-\ell$.
    • В дополнении получаем $h_k⩾0$ для любого $k$, это даёт нетривиальные неравенства на $f$-вектор.

История

В размерности 4 и 5 соотношения были описаны Максом Деном. В общем случае уравнения были описаны Шаблон:Нп1 в 1927.

Литература

• Шаблон:Книга