Уравнения совместности деформаций

Уравнения совместимости деформаций  — математические уравнения, выражающие один из основополагающих принципов механики сплошных сред — принцип совместимости деформаций. Суть последнего состоит в том, что компоненты тензора деформации должны подчиняться уравнениям совместимости, так как, в противном случае, рассматриваемое тело не будет являться сплошной средой. Уравнения совместимости деформаций часто называют тождествами Сен-Венана.

Математическое выражение принципа

Математически ограничения накладываются на тензор деформации. В зависимости от ситуации могут использоваться тензоры деформации Коши — Грина

$E_{ij}=\frac{1}{2}(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}+\sum _l\frac{\partial u_l}{\partial x_i}\frac{\partial u_l}{\partial x_j})$,

Тензор деформаций Альманзи — Гамеля

$A_{ij}=\frac{1}{2}(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}-\sum _l\frac{\partial u_l}{\partial x_i}\frac{\partial u_l}{\partial x_j})$,

Либо тензор малых деформаций

${\epsilon }_{ij}=\frac{1}{2}(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i})$,

Три компоненты поля смещений связаны с 6 компонентами тензора деформаций. Для того, чтобы эта система уравнений имела решение, однозначные в замкнутой односвязной области, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие уравнения

$\mathrm{\nabla }\times E\times \mathrm{\nabla }=0$,

$\mathrm{\nabla }\times A\times \mathrm{\nabla }=0$,

$\mathrm{\nabla }\times \epsilon \times \mathrm{\nabla }=0$,

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга