Формализм GENERIC

Формализм GENERIC (подход GENERIC, формулировка GENERIC) — гамильтонова формулировка неравновесной термодинамики, предложенная в окончательном своем виде Грмелой (Grmela) и Оттингером (Öttinger) в 1997. Название метода является акронимом от Шаблон:Lang-en — общее уравнение для неравновесной обратимой и необратимой связи.

Суть подхода

В основе данного подхода лежит предположение, что уравнения эволюции системы могут быть представлены следующим выражением (собственно GENERIC):

$\frac{d𝒙}{dt}=𝐋\cdot \frac{\delta E}{\delta 𝒙}+𝐌\cdot \frac{\delta S}{\delta 𝒙},$

здесь:

• $𝒙$ — набор независимы переменных, описывающий систему. Вектор $𝒙$ может содержать величины, непрерывно зависящие от индекса (например, гидродинамические поля).
• $E$ и $S$ — полные энергия и энтропия системы, выраженные через $𝒙$. Являются простым функциями или выражаются функционалами в случае, если какие-то переменные $𝒙$ являются полями.
• $𝐋$ и $𝐌$ — линейные функциональные операторы, выражающие, соответственно, обратимую и необратимую части эволюции.
• $\frac{\delta }{\delta 𝒙}$ обозначает функциональную производную. В отсутствие нелокальных эффектов сводится к обычной частной производной.

Вышеприведенное уравнение дополняется следующими условиями вырожденности:

$𝐋\cdot \frac{\delta S}{\delta 𝒙}=0,𝐌\cdot \frac{\delta E}{\delta 𝒙}=0,$

Первое из них соответствует тому, что функциональная форма энтропии не может внести свой вклад в обратимую составляющую эволюции. Второе условие выражает тот факт, что полная энергия не зависит от необратимой составляющей динамики.

Остановимся на свойствах матриц $𝐋$ и $𝐌$. Этим матрицам сопоставляются следующие скобки:

$\{A,B\}=⟨\frac{\delta A}{\delta 𝒙},𝐋\cdot \frac{\delta B}{\delta 𝒙}⟩,$

$[A,B]=⟨\frac{\delta A}{\delta 𝒙},𝐌\cdot \frac{\delta B}{\delta 𝒙}⟩,$

первые из которых представляет собой скобки Пуассона из классической механики, а скобки $[,]$ предназначены для описания диссипативных процессов. $⟨,⟩$ обозначает скалярное произведение. С помощью этих скобок эволюция произвольной функции $A(𝒙)$ запишется как:

$\frac{dA}{dt}=\{A,E\}+[A,S].$

Также из свойств вышеозначенных скобок следует, что оператор $𝐋$ антисимметричен ($𝐋(𝒙)=-{𝐋}^T(𝒙)$). $𝐌$ — симметричен ($𝐌(𝒙)={𝐌}^T(𝒙)$), при условии, что все переменные $𝒙$ имеют одинаковую четность по отношению к обращению времени. $𝐌$ является положительно-определенным оператором ($\mathrm{\forall }𝒚:𝒚\cdot 𝐌(𝒙)\cdot 𝒚⩾0$).

Перечисленные свойства и условия выродженности обеспечивают выполнение первого и второго начала термодинамики.

Литература

• Жоу Д., Касас-Баскес Х., Лебон Дж. Расширенная необратимая термодинамика. — Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»; Институт компьютерных исследований, 2006. — 528 с.