Формула Бейкера — Кэмпбелла — Хаусдорфа

Формула Бейкера — Кэмпбелла — Хаусдорфа определяет выражение для $Z$ из следующего равенства

$e^X{e}^Y=e^Z$

здесь $X$, $Y$ и $Z$ — элементы алгебры Ли близкие к нулю. Выражение на $Z$ является довольно сложным рядом с членами составленными из скобок Ли от $X$, $Y$.

Существование этой формулы играет ключевую роль в доказательстве того, что алгебра Ли полностью определяет локальную структуру своей группы Ли. Частный случай этой формулы применяется в квантовой механике и особенно в квантовой оптике.

Формула

Существует несколько вариантов для записи $Z$. Если представить $Z$ в виде разложения в ряд, то первые несколько членов будут иметь вид:

$\begin{array}{cc}Z(X,Y)& =\log (\exp X\exp Y)=\\ & =X+Y+\frac{1}{2}[X,Y]+\frac{1}{12}([X,[X,Y]]+[Y,[Y,X]])-\\ & -\frac{1}{24}[Y,[X,[X,Y]]]-\\ & -\frac{1}{720}([Y,[Y,[Y,[Y,X]]]]+[X,[X,[X,[X,Y]]]])+\\ & +\frac{1}{360}([X,[Y,[Y,[Y,X]]]]+[Y,[X,[X,[X,Y]]]])+\\ & +\frac{1}{120}([Y,[X,[Y,[X,Y]]]]+[X,[Y,[X,[Y,X]]]])+\\ & +\cdots \end{array}$

где "$\cdots$" содержит слагаемые более высоких порядков.

Наиболее общее выражение для $Z$ дается формулой Дынкина :

$Z$ = $\log (\exp X\exp Y)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}\sum _{\begin{array}{c}{r}_1+s_1>0\\ ⋮\\ r_n+s_n>0\end{array}}\frac{[X^{r_1}{Y}^{s_1}{X}^{r_2}{Y}^{s_2}\cdots X^{r_n}{Y}^{s_n}]}{(\sum _{j=1}^n(r_j+s_j))\cdot \prod _{i=1}^n{r}_i!s_i!},$

здесь суммирование проводится по всем неотрицательным значениям $s_i$ и $r_i$, и приняты следующие обозначения:

$[X^{r_1}{Y}^{s_1}\cdots X^{r_n}{Y}^{s_n}]=[\underset{r_1}{\underbrace{X,[X,\cdots [X}},[\underset{s_1}{\underbrace{Y,[Y,\cdots [Y}},\cdots [\underset{r_n}{\underbrace{X,[X,\cdots [X}},[\underset{s_n}{\underbrace{Y,[Y,\cdots Y}}]]\cdots ]].$