Формула Грассмана

Формула Грассмана — математическая формула, описывающая размерность подпространства конечномерного пространства. Выведена немецким учёным Г. Г. Грассманом.

Формулировка

Если линейное пространство $V$ конечномерно, то конечномерными будут и все линейные подпространства в $V$, причём, по свойству монотонности размерности, размерности подпространств не превышают размерность всего пространства.

Вычисление размерности может быть сделано по формуле:

$\dim (L_1\cap L_2)=\dim (L_1)+\dim (L_2)-\dim (L_1+L_2)⟺\dim (L_1\cap L_2)+\dim (L_1+L_2)=\dim (L_1)+\dim (L_2).$

Доказательство

Положим $\dim L_1=k$ , $\dim L_2=l$ , $\dim (L_1\cap L_2)=m$ . Так как $(L_1\cap L_2)\subset L_1,L_2$, то $m\le k$ и $m\le l$. Выберем в $L_1\cap L_2$ какой-нибудь базис $({𝒆}_1,\dots ,{𝒆}_m)$ и дополним его, с одной стороны, до базиса $({𝒆}_1,\dots ,{𝒆}_m;{𝒂}_1,\dots ,{𝒂}_{k-m})$ подпространства $L_1$ , а с другой — до базиса $({𝒆}_1,\dots ,{𝒆}_m;{𝒃}_1,\dots ,{𝒃}_{l-m})$ подпространства $L_2$. Каждый вектор суммы $L_1+L_2$ имеет вид $𝒖+𝒗$ , где $𝒖\in L_1$ , $𝒗\in L_2$ , а это значит, что

$L_1+L_2=⟨{𝒆}_1,\dots ,{𝒆}_m;{𝒂}_1,\dots ,{𝒂}_{k-m};{𝒃}_1,\dots ,{𝒃}_{l-m}⟩$ .

Если мы покажем, что система

${𝒆}_1,\dots ,{𝒆}_m;{𝒂}_1,\dots ,{𝒂}_{k-m};{𝒃}_1,\dots ,{𝒃}_{l-m}$

линейно независима и, стало быть, имеет место соотношение

$\dim (L_1+L_2)=m+(k-m)+(l-m)=k+l-m$ ,

совпадающее с сформулированным в условии теоремы, доказательство будет завершено. Предположим, что это не так, и пусть

$\sum _{s=1}^m{\gamma }_s{𝒆}_s+\sum _{i=1}^{k-m}{\alpha }_i{𝒂}_i+\sum _{j=1}^{l-m}{\beta }_j{𝒃}_j=0$

— нетривиальное линейное соотношение. Тогда мы имеем

$\sum _{s=1}^m{\gamma }_s{𝒆}_s+\sum _{i=1}^{k-m}{\alpha }_i{𝒂}_i=-\sum _{j=1}^{l-m}{\beta }_j{𝒃}_j$ ,

где в левой части равенства стоит элемент из $L_1$ , а в правой — элемент из $L_2$ . Значит, перед нами вектор из $L_1\cap L_2$ , и мы можем записать $-\sum _{j=1}^{l-m}{\beta }_j{𝒃}_j=\sum _{s=1}^m{\delta }_s{𝒆}_s$ , или

$\sum _{s=1}^m{\delta }_s{𝒆}_s+\sum _{j=1}^{l-m}{\beta }_j{𝒃}_j=0$ .

Но линейная зависимость базисной системы $\{{𝒆}_1,\dots ,{𝒆}_m;{𝒃}_1,\dots ,{𝒃}_{l-m}\}$ подпространства $L_2$ должна быть тривиальной. В частности, ${\beta }_1={\beta }_2=\dots ={\beta }_{l-m}=0$ , и тогда, исходя из начального соотношения, приходим к аналогичной линейной зависимости базисной системы $\{{𝒆}_1,\dots ,{𝒆}_m;{𝒂}_1,\dots ,{𝒂}_{k-m}\}$ подпространства $L_1$ , которая также является тривиальной: ${\gamma }_1={\gamma }_2=\dots ={\gamma }_m={\alpha }_1=\dots ={\alpha }_{k-m}=0$ . Мы пришли к желаемому противоречию.

Литература

• Яцкин Н. И. Линейная алгебра. Теоремы и алгоритмы: Учебное пособие. — Иваново : Ивановский гос. ун-т 2008. — 607 с.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру: В 3-х ч. Ч. II: Линейная алгебра. — Пятое издание, стереотип. — М.: МЦНМО, 2023. — 368 с.