Формула Тейлора — Пеано

Формула Тейлора — Пеано Пусть $f:ℂ\to ℂ$, $z_0$ — предельная точка множества $D_f$ и $z_0\in D_f$. Если функция $f$ $n$-дифференцируема в точке $z_0$, то для всех $z\in D_f$ справедлива формула Тейлора — Пеано

$f(z)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(z_0)(z-z_0{)}^k}{k!}+{\epsilon }_n(z)(z-z_0{)}^n,$ (1)

где ε_n(z) — непрерывная в точке z₀ функция и ε_n(z₀) = 0. Применим метод математической индукции. Если n = 0, то утверждение очевидно при ε_n(z) = f(z) − f(z₀). Предположим, что утверждение теоремы справедливо после замены n на n − 1 и что функция f n раз дифференцируема в смысле Ферма-Лагранжа в точке z₀. Согласно определению, существует такая n − 1 дифференцируемая в смысле Ферма-Лагранжа в точке z₀ функция φ, что ∀z ∈ D_f,

$f(z)-f(z_0)=(z-z_0)\phi (z).(2)$

По предположению

$\phi (z)=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{{\phi }^{(k)}(z_0)(z-z_0{)}^k}{k!}+{\epsilon }_{n-1}(z)(z-z_0{)}^{n-1},(3)$

где ${\epsilon }_{n-1}(z)$ — непрерывная в точке z₀ функция и ${\epsilon }_{n-1}(z_0)=0$. Из равенств (2) и (3) получаем:

$f(z)=f(z_0)+(z-z_0)(\sum _{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k+1)}(z_0)(z-z_0{)}^k}{k!}+{\epsilon }_{n-1}(z)(z-z_0{)}^{n-1})=$

$=f(z_0)+\sum _{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k+1)}(z_0)}{k+1}\frac{(z-z_0{)}^{k+1}}{k!}+{\epsilon }_{n-1}(z)(z-z_0{)}^n,$

что равносильно формуле (1) при ${\epsilon }_n={\epsilon }_{n-1}$.

Литература

А.К.Боярчук "Функции комплексного переменного: теория и практика" Справочное пособие по высшей математике. Т.4 М.:Едиториал УРСС, 2001. - 352с.