Формула монотонности

Формула монотонности — классическая теорема о минимальных поверхностях. Она утверждает в частности, что площадь пересечения минимальной поверхности без границы с шаром с центром на поверхности не может быть меньше площади круга того же радиуса.

Формулировка

Предположим $M$ есть $k$-мерная минимальная поверхность в евклидовом пространстве и $p\in M$. Обозначим через $R$ минимальное расстояние от $p$ до границы $M$.

Тогда функция

$r\mapsto \frac{\mathrm{S}(M\cap B_r(p))}{r^m}$

монотонно возрастает в интервале $[0,R]$; здесь $\mathrm{S}$ обозначает $k$-мерную площадь и $B_r(p)$ — шар радиуса $r$ с центром в $p$.

Следствия

• Для $M$, $p$ и $R$ как в формулировке выполняется неравенство

  $\mathrm{S}(M\cap B_r(p))\ge {\omega }_k\cdot r^m,$

при $r\le R$; здесь ${\omega }_k$ обозначает объём единичного шара в $k$-мерном евклидовом пространстве.

• Более того, если $p$ является точкой самопересечения то

$\mathrm{S}(M\cap B_r(p))\ge 2\cdot {\omega }_k\cdot r^m,$

при $r\le R$.

Применения

• Эколм и Уайт применили формулу монотонности в доказательстве того, что минимальная поверхность натянутая на контур с вариацией поворота 4π или меньше является вложенной.
• Бренде и Хунг применили обобщённую формулу монотонности для оценки площади пересечения минимальной поверхности с шаром центр которого находится вне поверхности.

Литература

• Шаблон:Статья

• Шаблон:Статья