Функция Розенброка

График функции Розенброка для двух переменных. Глобальный минимум перенесён в точку (1,1).

Функция Розенброка (Шаблон:Lang-en) — невыпуклая функция, используемая для оценки производительности алгоритмов оптимизации, предложенная Шаблон:Нп1 в 1960 году. Считается, что поиск глобального минимума для данной функции является нетривиальной задачей.

Является примером тестовой функции для локальных методов оптимизации. Имеет минимум 0 в точке (1,1).

Каноническое определение

Значение функции Розенброка для двух переменных в окрестности точки $(x,y)=(0,0)$.

Функция Розенброка для двух переменных определяется как:

$f(x,y)=(1-x{)}^2+100(y-x^2{)}^2.$

Она имеет глобальный минимум в точке $(x,y)=(1,1)$ где $f(x,y)=0$.

Многомерное обобщение

Встречаются два классических варианта многомерного обобщения функции Розенброка.

В первом случае, как сумма $N/2$ несвязанных двумерных функций Розенброка:

$f(𝐱)=f(x_1,x_2,\dots ,x_N)=\sum _{i=1}^{N/2}[100(x_{2i-1}^2-x_{2i}{)}^2+(x_{2i-1}-1{)}^2].$

Более сложным вариантом является:

$f(𝐱)=\sum _{i=1}^{N-1}[(1-x_i{)}^2+100(x_{i+1}-x_i^2{)}^2]\mathrm{\forall }x\in {ℝ}^N.$

Существует также вероятностное обобщение функции Розенброка, предложенное Шаблон:Lang-en:

$f(𝐱)=\sum _{i=1}^{n-1}[(1-x_i{)}^2+100{ϵ}_i(x_{i+1}-x_i^2{)}^2],$

где случайные переменные ${ϵ}_i(i=1,2,...,n-1)$ являются равномерно распределёнными Unif(0,1).

См. также

• Градиентный спуск
• Метод Нелдера — Мида

Литература

• Методические указания к исследовательской лабораторной работе по дисциплине «Математические основы кибернетики» // Крушель Е. Г., Степанченко О. В. Шаблон:Недоступная ссылка
• Шаблон:Citation

Ссылки

• Rosenbrock function plot in 3DШаблон:Ref-en.
• Minimizing the Rosenbrock Function by Michael Croucher, The Wolfram Demonstrations ProjectШаблон:Ref-en.
• Шаблон:MathWorldШаблон:Ref-en
• Solving non-linear models with Compact Quasi Newton solver part 1Шаблон:Ref-en.