Хребтовая функция

Хребтовая функция — функция комплексного переменного, модуль которой в каждой точке некоторого интервала мнимой оси больше или равен модулю функции во всех точках прямой, параллельной действительной оси. Понятие хребтовой функции и изучение её свойств впервые провёл Дюге.

Определение

Функция комплексного переменного $z$, определённая и аналитическая в области $D$, содержащей интервал $(ia,ib)$ мнимой оси $a<b$ называется хребтовой в $D$ вдоль интервала $(ia,ib)$ мнимой оси, если для всех $z=x+iy\in D,y\in (a,b)$ верно нерваенство $|f(x+iy)|\le |f(iy)|$ Шаблон:Sfn.

Свойства

Если функция $f\equiv ̸0$, хребтовая в $D$, то:

• функция $\arg f(iy)$ постоянна для всех $y\in (a,b)$.
• функция $\ln |f(iy)|$ выпукла для всех $y\in (a,b)$(Теорема Дюге).

Литература

• Шаблон:Книга