Центрированные многоугольные числа

Шаблон:Не путать Центрированные многоугольные числа — класс плоских $k$-угольных фигурных чисел ($k⩾3$), получаемый следующим геометрическим построением. Сначала на плоскости фиксируется некоторая центральная точка. Затем вокруг неё строится правильный $k$-угольник с $k$ точками вершин, каждая сторона содержит две точки (см. рисунок). Далее снаружи строятся новые слои $k$-угольников, причём каждая их сторона на новом слое содержит на одну точку больше, чем в предыдущем слое, то есть начиная со второго слоя каждый следующий слой содержит на $k$ больше точек, чем предыдущий. Общее число точек внутри каждого слоя и принимается в качестве центрированного многоугольного числа (точка в центре считается начальным слоем)Шаблон:Sfn.

Примеры построения центрированных многоугольных чисел:

Треугольные	Квадратные	Пятиугольные	Шестиугольные

Из построения видно, что центрированные многоугольные числа получаются как частичные суммы следующего ряда: $1+k+2k+3k+4k+\dots$ (например, центрированные квадратные числа, для которых $k=4,$ образуют последовательность: $1,5,13,25,41\dots$) Этот ряд можно записать как $1+k(1+2+3+4+\dots ).$, откуда видно, что в скобках — порождающий ряд для классических треугольных чисел. Следовательно, каждая последовательность центрированных $k$-угольных чисел, начиная со 2-го элемента, может быть представлена как $k{T}_n+1,$ где $T_n(n=1,2,3\dots )$ — последовательность треугольных чисел. Например, центрированные квадратные числа — это учетверённые треугольные числа плюс 1, порождающий ряд для них имеет вид: $1+4+8+12\dots$Шаблон:Sfn

Общая формула для $n$-го центрированного Шаблон:S числа $C_n^{(k)}$:

Шаблон:EF

Сводная таблица

Число углов k	Тип числа	Начало последовательности	Ссылка на OEIS
3	Центрированные треугольные числа	1, 4, 10, 19, 31, …	Шаблон:OEIS short
4	Центрированные квадратные числа	1, 5, 13, 25, 41, …	Шаблон:OEIS short
5	Центрированные пятиугольные числа	1, 6, 16, 31, 51, …	Шаблон:OEIS short
6	Центрированные шестиугольные числа	1, 7, 19, 37, 61, …	Шаблон:OEIS short
7	Центрированные семиугольные числа	1, 8, 22, 43, 71, …	Шаблон:OEIS short
8	Центрированные восьмиугольные числа	1, 9, 25, 49, 81, …	Шаблон:OEIS short
9	Центрированные девятиугольные числа	1, 10, 28, 55, 91, …	Шаблон:OEIS short
10	Центрированные десятиугольные числа	1, 11, 31, 61, 101, …	Шаблон:OEIS short

и так далее.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:Mathworld
• Фигурные числа