Центр Штейнера

Центр Штейнера — центр тяжести кривизны Гаусса поверхности тела.

Определение

Пусть $K \subset ℝ^{n}$ — выпуклое тело и $h_{K, p}$ его опорная функция с центром в точке $p$ . Точка $p$ является центром Штейнера тела $K$ если

\int_{u \in 𝕊^{n - 1}} h_{K, p} (u) \cdot u = 0 .

Пусть $k (K)$ обозначает центр Штейнера тела $K$ .

Центр Штейнера суммы Минковского двух тел есть сумма центров этих тел. То есть
$k (K_{1} + K_{2}) = k (K_{1}) + k (K_{2}) .$

Отображение $K \mapsto k (K)$ липшицево относительно метрики Хаусдорфа; то есть существует константа $L_{n}$ такая, что
$| k (K_{1}) - k (K_{2}) | \leq L_{n} \cdot | K_{1} - K_{2} |_{H},$

где

| K_{1} - K_{2} |_{H},

обозначает расстояние Хаусдорфа от

K_{1}

до

K_{2}

.

Константа $L_{n}$ наименьшая для всех возможных выборов центров $k (K) \in K$ .^[1]
$L_{1} = 1$ , $L_{2} = \frac{1}{π}$ , $L_{3} = \frac{3}{2}$ . В общем случае,

L_{n} = \frac{2}{\sqrt{π}} \cdot \frac{Γ (\frac{n}{2} + 1)}{Γ (\frac{n}{2} + \frac{1}{2})},

где

Γ