Циклический код

Шаблон:Нет источников Циклический код — линейный, блочный код, обладающий свойством цикличности, то есть каждая циклическая перестановка кодового слова также является кодовым словом. Используется для преобразования информации для защиты её от ошибок (см. Обнаружение и исправление ошибок).

Введение

Пусть $\bar{y}=(y_0,y_1,\dots ,y_{n-1})\in L^n$ — слово длины n над алфавитом из элементов конечного поля $L=GF(q)$ и $y(x)=y_0+y_{1}x+y_2{x}^2+\dots +y_{n-1}{x}^{n-1}$ — полином, соответствующий этому слову, от формальной переменной $x$. Видно, что это соответствие является изоморфизмом линейных пространств. Так как «слова» состоят из букв из поля, то их можно складывать и умножать (поэлементно), причём результат будет в том же поле. Полином, соответствующий линейной комбинации $\bar{y}=m_1\overline{y_1}+m_2\overline{y_2}$ пары слов $\overline{y_1}=(y_{1,0},\dots ,y_{1,n-1})$ и $\overline{y_2}=(y_{2,0},\dots ,y_{2,n-1})$, равен линейной комбинации полиномов этих слов $y(x)=\sum _{k=0}^{n-1}(m_1{y}_{1k}+m_2{y}_{2k})x^k=m_1\overline{y_1}(x)+m_2\overline{y_2}(x)$.

Это позволяет рассматривать множество слов длины n над конечным полем как линейное пространство полиномов со степенью не выше n − 1 над полем $GF(q)$.

Алгебраическое описание

Если $\overrightarrow{c_1}$ — кодовое слово, получающееся циклическим сдвигом на один разряд влево из слова $\overrightarrow{c}$, то соответствующий ему полином $c_1(x)$ получается из предыдущего умножением на x:

$c_1(x)=xc(x)mod(x^n-1)$, пользуясь тем, что $x^n\equiv 1mod(x^n-1).$

Сдвиг вправо и влево соответственно на $j$ разрядов:

$c_j(x)=x^{j}c(x)mod(x^n-1),$

$c_{-j}(x)x^j=c(x)mod(x^n-1).$

Если $m(x)$ — произвольный полином над полем $GF(q)$, и $c(x)$ — кодовое слово циклического $(n,k)$ кода, то $m(x)c(x)mod(x^n-1)$ — тоже кодовое слово этого кода.

Порождающий полином

Определение

Порождающим полиномом циклического $(n,k)$ кода $C$ называется такой ненулевой полином $g(x)=\sum _{i=0}^r{g}_i{x}^i$ из $C$, степень которого наименьшая, и коэффициент при старшей степени $g_r=1$.

Теорема 1

Если $C$ — циклический $(n,k)$ код, и $g(x)$ — его порождающий полином, то степень $g(x)$ равна $r=n-k$, и каждое кодовое слово может быть единственным образом представлено в виде

$c(x)=m(x)g(x),$

где степень $m(x)$ меньше или равна $k-1$.

Теорема 2

$g(x)$ — порождающий полином циклического $(n,k)$ кода — является делителем двучлена $x^n-1$.

Следствия

Таким образом, в качестве порождающего полинома можно выбирать любой полином делитель $x^n-1$. Степень выбранного полинома будет определять количество проверочных символов $r$, число информационных символов $k=n-r$.

Порождающая матрица

Полиномы $g(x),xg(x),x^{2}g(x),\dots ,x^{k-1}g(x)$ линейно независимы, иначе $m(x)g(x)=0$ при ненулевом $m(x)$, что невозможно.

Значит кодовые слова можно записывать, как и для линейных кодов, следующим образом:

$\bar{m}G=(m_0,m_1,\dots ,m_{k-1})\left[\begin{array}{c}g(x)\\ xg(x)\\ \dots \\ x^{k-1}g(x)\end{array}\right]=m(x)g(x),$

где $G$ является порождающей матрицей, $m(x)$ — информационным полиномом.

Матрицу $G$ можно записать в символьной форме:

$G=\left[\begin{array}{cccccccc}{g}_0& g_1& \dots & g_{r-1}& g_r& 0& \dots & 0\\ 0& g_0& \dots & g_{r-2}& g_{r-1}& g_r& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & 0& g_0& g_1& \dots & g_r\end{array}\right].$

Проверочная матрица

Для каждого кодового слова циклического кода справедливо $c(x)=0modg(x)$. Поэтому проверочную матрицу можно записать как

$H=\left[\begin{array}{cccccc}1& x& x^2& \dots & x^{n-2}& x^{n-1}\end{array}\right]modg(x).$

Тогда

$\bar{c}{H}^T=\sum _{i=0}^{n-1}{c}_i{x}^i=0modg(x).$

Кодирование

Несистематическое

При несистематическом кодировании кодовое слово получается в виде произведения информационного полинома на порождающий:

$c(x)=m(x)g(x).$

Оно может быть реализовано при помощи перемножения полиномов.

Систематическое

При систематическом кодировании кодовое слово формируется в виде информационного подблока и проверочного:

$c(x)=[s(x)m(x)].$

Пусть информационное слово образует старшие степени кодового слова, тогда

$c(x)=x^{r}m(x)+s(x),r=n-k.$

Тогда из условия $c(x)=x^{r}m(x)+s(x)=0modg(x)$ следует

$s(x)=-x^{r}m(x)modg(x).$

Это уравнение и задаёт правило систематического кодирования. Оно может быть реализовано при помощи многотактных линейных фильтров (МЛФ).

Примеры

Двоичный (7,4,3) код

В качестве делителя $x^7-1$ выберем порождающий полином третьей степени $g(x)=x^3+x+1$, тогда полученный код будет иметь длину $n=7$, число проверочных символов (степень порождающего полинома) $r=3$, число информационных символов $k=4$, минимальное расстояние $d=3$.

Порождающая матрица кода:

$G=\left[\begin{array}{ccccccc}1& 1& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 1& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 1& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1& 1& 0& 1\end{array}\right],$

где первая строка представляет собой запись полинома $g(x)$ коэффициентами по возрастанию степени.

Остальные строки — циклические сдвиги первой строки.

Проверочная матрица:

$H=\left[\begin{array}{ccccccc}1& 0& 0& 1& 0& 1& 1\\ 0& 1& 0& 1& 1& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0& 1& 1& 1\end{array}\right],$

где i-й столбец, начиная с 1-го, представляет собой остаток от деления $x^{i-1}$ на полином $g(x)$, записанный по возрастанию степеней, начиная сверху.

Так, например, 4-й столбец получается $h_4(x)=x^{3}modg(x)=x+1$, или в векторной записи $[110]$.

Легко убедиться, что $G{H}^T=0$.

Двоичный (15,7,5) БЧХ код

В качестве порождающего полинома $g(x)$ можно выбрать произведение двух делителей $x^{15}-1$:

$g(x)=g_1(x)g_2(x)=(x^4+x+1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=x^8+x^7+x^6+x^4+1.$

Тогда каждое кодовое слово можно получить с помощью произведения информационного полинома $m(x)$ со степенью $k-1$ таким образом:

$c(x)=m(x)g(x).$

Например, информационному слову $\bar{m}=[1000111]$ соответствует полином $m(x)=x^6+x^5+x^4+1$, тогда кодовое слово $c(x)=(x^6+x^5+x^4+1)(x^8+x^7+x^6+x^4+1)=x^{14}+x^{12}+x^9+x^7+x^5+1$, или в векторном виде $\bar{c}=[100001010100101]$.

См. также

• Обнаружение и исправление ошибок
• Линейный код
• БЧХ код
• Конечное поле
• Многочлен над конечным полем
• Код Рида — Соломона
• Код Хэмминга

Ссылки

• Механизмы контроля целостности данных.