Циклический многогранник

Циклический многогранник — выпуклый многогранник, вершины которого лежат на кривой $t\mapsto (t,t^2,\dots ,t^d)$ в ${ℝ}^d$.

Конструкция

Пусть $𝐱(t)=(t,t^2,\dots ,t^d)\in {ℝ}^d$ и $t_1<t_2<\dots <t_n$. Выпуклая оболочка $n$ точек $𝐱(t_1),𝐱(t_2),\dots ,𝐱(t_n)$ называется $d$-мерным циклическим многогранником с $n$ вершинами и далее обозначается $C(n,d)$.

Свойства

• Критерий Гейла: Пусть $T=\{t_1,t_2,\dots ,t_n\}$, и $T_d\subset T$ — подмножество из $d$ элементов. Гипергрань в $C(n,d)$ соответствует $T_d$ тогда и только тогда, когда между любыми двумя соседними числами в $T_d$ лежит чётное число чисел из $T$.
• Любые $\lfloor \frac{d}{2}\rfloor$ вершин в $C(n,d)$ образуют грань.
  • В частности, любые две вершины 4-мерного циклического многогранника соединены ребром.
• Число $i$-мерных граней в $C(n,d)$ при $0\le i<\lfloor \frac{d}{2}\rfloor$ равно $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i+1})$.
  • Используя тождества Дена — Сомервиля, можно найти число граней старших размерностей.
  • Для любого $k$ среди всех $d$-мерных многогранников с $n$ вершинами циклические многогранники имеют максимальное число $k$-мерных граней.

Литература

• Шаблон:Книга