Циклический подкласс

Цикли́ческие подкла́ссы — подмножества неразложимого периодического класса цепи Маркова такие, что цепь проходит их один за другим по порядку.

Теорема

Пусть дана цепь Маркова $\{X_n{\}}_{n\ge 0}$ с дискретным временем, дискретным пространством состояний $S$ и матрицей переходных вероятностей $P$. Пусть $C\subset S$ — неразложимый класс состояний с периодом $d$. Тогда существует разбиение множества $C$: $C_0,\dots ,C_{d-1}\subset C$, то есть

$C_k\cap C_l=\mathrm{\varnothing },k=l,\bigcup _{k=0}^{d-1}{C}_k=C$

такое, что

$\mathbb{P}(X_{n+1}\in C_{k+1modd}\mid X_n\in C_k)=1,k=0,\dots ,d-1,n\in \mathbb{N}$.

Замечание

Таким образом внутри любого неразложимого периодического класса цепь Маркова описывает путь:

$C_k\to C_{k+1}\to \cdots \to C_{d-1}\to C_0\to \cdots \to C_{k-1}\to C_k\to \cdots$,

где $k$ — индекс начального подмножества.

Определение

Построенные таким образом подмножества $C_k,k=1,\dots ,d-1$ называются цикли́ческими подкла́ссами.

Цепь внутри циклического подкласса

Очевидно имеем:

$\mathbb{P}(X_{n+d}\in C_k\mid X_n\in C_k)=1,k=0,\dots ,d-1,n\in \mathbb{N}$,

то есть через каждые $d$ шагов цепь возвращается в тот же циклический подкласс. Тогда для любого фиксированного $k=0,\dots ,d-1$ можно построить новую цепь Маркова ${\left\{X_n^{(k)}\right\}}_{n\ge 0}$ со множеством состояний $C_k$ и матрицей переходных вероятностей $P^d$. Эта цепь будет неразложимой и апериодичной. Таким образом изучение многих вопросов поведения цепи Маркова сводится к случаю апериодической неразложимой цепи.