Четырнадцатая проблема Гильберта

Четырнадцатая проблема Гильберта — четырнадцатая из проблем, поставленных Давидом Гильбертом в его знаменитом докладе на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Она посвящена вопросу конечной порождённости возникающих при определённых конструкциях колец. Исходная постановка Гильберта была мотивирована работой Маурера, в которой утверждалась конечная порождённость алгебры инвариантов линейного действия алгебраической группы на векторном пространстве; собственно же вопрос Гильберта касался кольца, получаемого пересечением подполя в поле рациональных функций с кольцом многочленов.

Однако вскоре после доклада выяснилось, что работа Маурера содержала ошибку, — и вопрос Гильберта начали рассматривать как вопрос о конечной порождённости алгебр инвариантов линейных алгебраических групп. Неожиданным образом оказалось, что ответ на этот вопрос отрицателен: в 1958 году на конгрессе в Эдинбурге М. Нагата предъявил к нему контрпример . Им была построена подгруппа в GL(n), алгебра инвариантов которой не является конечно порождённой. Эта конструкция была затем упрощена Стейнбергом в его работе 1997 года.

Формулировки

Исходная формулировка Гильберта

Шаблон:Начало цитаты 14. Доказательство конечности некоторой полной системы функций.

<...> Мауреру недавно удалось распространить доказанные Жорданом и мною теоремы конечности в теории инвариантов на случай, когда инварианты определяются не общей проективной группой, как в обыкновенной теории инвариантов, а произвольной её подгруппой. <...>

Пусть дано некоторое число m целых рациональных функций $X_1,...,X_m$ от переменных $x_1,\dots ,x_n$:

$\begin{array}{c}{X}_1=f_1(x_1,\dots ,x_n)\\ X_2=f_2(x_1,\dots ,x_n)\\ ⋮\\ X_m=f_m(x_1,\dots ,x_n)\end{array}\}(S)$

Всякая целая рациональная связь между $X_1,\dots ,X_m$, если в неё внесены эти их значения, очевидно, тоже представляет целую рациональную функцию от $x_1,\dots ,x_n$. Вполне, однако, могут существовать дробные рациональные функции от $X_1,\dots ,X_m$, которые после подстановки (S) приведут к целым функциям от $x_1,\dots ,x_n$. Каждую такую функцию <...> я буду называть относительно целой функцией от $X_1,\dots ,X_m$. <...> Проблема, таким образом, выражается в следующем: установить, всегда ли возможно найти такую конечную систему относительно целых функций от $X_1,\dots ,X_m$, через которую любая другая относительно целая функция выражается целым и рациональным образом. <...>

Иными словами, это вопрос о конечной порождённости алгебры $K\bigcap k[x_1,\dots ,x_n]$, где $K$ — порождённое $X_1,\dots ,X_n$ поле. Поскольку всякое промежуточное поле $k\subset K\subset k(x_1,\dots ,x_n)$ является конечно-порожденым как расширение k, в итоге на современном языке исходная формулировка Гильберта звучит следующим образом: Шаблон:Начало цитаты Пусть $K\subset k[x_1,\dots ,x_n]$ — некоторое поле, содержащее основное поле k. Правда ли, что алгебра $K\bigcap k[x_1,\dots ,x_n]$ конечно порождена? Шаблон:Конец цитаты

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга Шаблон:Wayback