Четырёхполюсник

Четырёхпо́люсник — электрическая цепь, разновидность многополюсника, имеющая четыре точки подключенияШаблон:Sfn. Как правило, две точки являются входом, две другие — выходом.

Общие сведения

Схема четырёхполюсника

При анализе электрических цепей очень часто бывает удобным выделить фрагмент цепи, имеющий две пары зажимов. Поскольку электрические (электронные) цепи очень часто связаны с передачей энергии или обработкой и преобразованием информации, одну пару зажимов обычно называют «входными», а вторую — «выходными». На входные зажимы подаётся исходный сигнал, с выходных снимается преобразованный.

Такими четырёхполюсниками являются, например, трансформаторы, усилители, фильтры, стабилизаторы напряжения, телефонные линии, линии электропередачи и т. д.

Однако математическая теория четырёхполюсников не предполагает никаких предопределённых потоков энергии/информации в цепях, поэтому названия «входные» и «выходные» являются данью традиции и с этой оговоркой будут использоваться далее.

Состояния входных и выходных зажимов определяются четырьмя параметрами: напряжением и током во входной (U₁, I₁) и выходной (U₂, I₂) цепях. В этой системе параметров линейный четырёхполюсник описывается системой из двух линейных уравнений, причём два из четырёх параметров состояния являются исходными, а два других — определяемыми. Для нелинейных четырёхполюсников зависимость может носить более сложный характер. Например, выходные параметры через входные можно выразить системой

$\{\begin{array}{c}{U}_2=b_{11}{U}_1+b_{12}{I}_1\\ I_2=b_{21}{U}_1+b_{22}{I}_1\end{array};\left(\begin{array}{c}{U}_2\\ I_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{U}_1\\ I_1\end{array}\right)$

В дальнейшем будет использоваться запись системы уравнений в матричном виде, как наиболее удобная для восприятия.

Системы параметров

Линейный четырёхполюсник, не содержащий независимых источников (напряжения и/или тока), описывается четырьмя параметрами — два напряжения и два тока. Любые две величины из четырёх можно определить через оставшиеся две. Поскольку число сочетаний 2 из 4 — 6, используется одна из шести систем записи формальных параметров четырёхполюсникаШаблон:Sfn:

• A-форма U₁=AU₂+BI₂; I₁=CU₂+DI₂, где A, B, C, D — A-параметры, обобщенныеШаблон:Sfn или комплексныеШаблон:Sfn параметры.
• Y-форма I₁=Y₁₁U₁+Y₁₂U₂; I₂=Y₂₁U₁+Y₂₂U₂, где Y₁₁, Y₁₂, Y₂₁, Y₂₂ — Y-параметры, или параметры проводимостейШаблон:Sfn.
• Z-форма U₁=Z₁₁I₁+Z₁₂I₂; U₂=Z₂₁I₁+Z₂₂I₂, где Z₁₁, Z₁₂, Z₂₁, Z₂₂ — Z-параметры, или параметры сопротивленийШаблон:Sfn.
• H-форма U₁=h₁₁I₁+h₁₂U₂; I₂=h₂₁I₁+h₂₂U₂, где h₁₁, h₁₂, h₂₁, h₂₂ — h-параметры, которые применяются при рассмотрении схем с транзисторамиШаблон:Sfn.
• G-форма I₁=G₁₁U₁+G₁₂I₂; U₂=G₂₁U₁+G₂₂I₂, где G — это параметр который используется при рассмотрении ламповых схем.
• B-форма U₂=B₁₁U₁+B₁₂I₁; I₂=B₂₁U₁+B₂₂I₁

Конкретная система выбирается из соображений удобства. Выбор зависит от того, какой параметр (напряжение или ток) является входным и какой — выходным сигналом для данного четырёхполюсника.

В указанных системах формальных параметров не могут быть учтены произвольные внутренние источники (например, постоянного тока), допускаются только управляемые генераторы тока и управляемые генераторы напряжения, которые управляются входными сигналами четырёхполюсника. Поэтому в качестве четырёхполюсников рассматриваются, как правило, эквивалентные схемы по переменному току.

Системы уравнений и эквивалентные схемы четырёхполюсников при использовании каждого типа параметров показаны в таблице.

Системы уравнений, эквивалентные схемы, измерение параметров

Тип	Система уравнений	Эквивалентная схема	Измерение параметров
$G$	$\left(\begin{array}{c}{I}_1\\ U_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{g}_{11}& g_{12}\\ g_{21}& g_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{U}_1\\ I_2\end{array}\right)$	Файл:Equivalent Quadripole G.gif	$g_{11}={\frac{I_1}{U_1}|}_{I_2=0}{g}_{12}={\frac{I_1}{I_2}|}_{U_1=0}$ $g_{21}={\frac{U_2}{U_1}|}_{I_2=0}{g}_{22}={\frac{U_2}{I_2}|}_{U_1=0}$
$H$	$\left(\begin{array}{c}{U}_1\\ I_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{h}_{11}& h_{12}\\ h_{21}& h_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{I}_1\\ U_2\end{array}\right)$	Файл:Equivalent Quadripole H.gif	$h_{11}={\frac{U_1}{I_1}|}_{U_2=0}{h}_{12}={\frac{U_1}{U_2}|}_{I_1=0}$ $h_{21}={\frac{I_2}{I_1}|}_{U_2=0}{h}_{22}={\frac{I_2}{U_2}|}_{I_1=0}$
$Y$	$\left(\begin{array}{c}{I}_1\\ I_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{y}_{11}& y_{12}\\ y_{21}& y_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{U}_1\\ U_2\end{array}\right)$	Файл:Equivalent Quadripole Y.gif	$y_{11}={\frac{I_1}{U_1}|}_{U_2=0}{y}_{12}={\frac{I_1}{U_2}|}_{U_1=0}$ $y_{21}={\frac{I_2}{U_1}|}_{U_2=0}{y}_{22}={\frac{I_2}{U_2}|}_{U_1=0}$
$Z$	$\left(\begin{array}{c}{U}_1\\ U_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{z}_{11}& z_{12}\\ z_{21}& z_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{I}_1\\ I_2\end{array}\right)$	Файл:Equivalent Quadripole Z.gif	$z_{11}={\frac{U_1}{I_1}|}_{I_2=0}{z}_{12}={\frac{U_1}{I_2}|}_{I_1=0}$ $z_{21}={\frac{U_2}{I_1}|}_{I_2=0}{z}_{22}={\frac{U_2}{I_2}|}_{I_1=0}$
$A$	$\left(\begin{array}{c}{U}_1\\ I_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{U}_2\\ I_2\end{array}\right)$		$a_{11}={\frac{U_1}{U_2}|}_{I_2=0}{a}_{12}={\frac{U_1}{I_2}|}_{U_2=0}$ $a_{21}={\frac{I_1}{U_2}|}_{I_2=0}{a}_{22}={\frac{I_1}{I_2}|}_{U_2=0}$
$B$	$\left(\begin{array}{c}{U}_2\\ I_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{U}_1\\ I_1\end{array}\right)$		$b_{11}={\frac{U_2}{U_1}|}_{I_1=0}{b}_{12}={\frac{U_2}{I_1}|}_{U_1=0}$ $b_{21}={\frac{I_2}{U_1}|}_{I_1=0}{b}_{22}={\frac{I_2}{I_1}|}_{U_1=0}$

Преобразование параметров

	$H$	$Y$	$Z$	$G$	$A$
$H$		$h_{11}=1/y_{11}$ $h_{12}=-y_{12}/y_{11}$ $h_{21}=y_{21}/y_{11}$ $h_{22}={\mathrm{\Delta }}_y/y_{11}$ ${\mathrm{\Delta }}_h=y_{22}/y_{11}$	$h_{11}={\mathrm{\Delta }}_z/z_{22}$ $h_{12}=z_{12}/z_{22}$ $h_{21}=-z_{21}/z_{22}$ $h_{22}=1/z_{22}$ ${\mathrm{\Delta }}_h=z_{11}/z_{22}$	$h_{11}=g_{22}/{\mathrm{\Delta }}_g$ $h_{12}=-g_{12}/{\mathrm{\Delta }}_g$ $h_{21}=-g_{21}/{\mathrm{\Delta }}_g$ $h_{22}=g_{11}/{\mathrm{\Delta }}_g$ ${\mathrm{\Delta }}_h=1/{\mathrm{\Delta }}_g$	$h_{11}=B/D$ $h_{12}={\mathrm{\Delta }}_A/D$ $h_{21}=-1/D$ $h_{22}=C/D$
$Y$	$y_{11}=1/h_{11}$ $y_{12}=-h_{12}/h_{11}$ $y_{21}=h_{21}/h_{11}$ $y_{22}={\mathrm{\Delta }}_h/h_{11}$ ${\mathrm{\Delta }}_y=h_{22}/h_{11}$		$y_{11}=z_{22}/{\mathrm{\Delta }}_z$ $y_{12}=-z_{12}/{\mathrm{\Delta }}_z$ $y_{21}=-z_{21}/{\mathrm{\Delta }}_z$ $y_{22}=z_{11}/{\mathrm{\Delta }}_z$ ${\mathrm{\Delta }}_y=1/{\mathrm{\Delta }}_z$	$y_{11}={\mathrm{\Delta }}_g/g_{22}$ $y_{12}=g_{12}/g_{22}$ $y_{21}=-g_{21}/g_{22}$ $y_{22}=1/g_{22}$ ${\mathrm{\Delta }}_y=g_{11}/g_{22}$	$y_{11}=D/B$ $y_{12}=-{\mathrm{\Delta }}_A/B$ $y_{21}=-1/B$ $y_{22}=A/B$
$Z$	$z_{11}={\mathrm{\Delta }}_h/h_{22}$ $z_{12}=h_{12}/h_{22}$ $z_{21}=-h_{21}/h_{22}$ $z_{22}=1/h_{22}$ ${\mathrm{\Delta }}_z=h_{11}/h_{22}$	$z_{11}=y_{22}/{\mathrm{\Delta }}_y$ $z_{12}=-y_{12}/{\mathrm{\Delta }}_y$ $z_{21}=-y_{21}/{\mathrm{\Delta }}_y$ $z_{22}=y_{11}/{\mathrm{\Delta }}_y$ ${\mathrm{\Delta }}_z=1/{\mathrm{\Delta }}_y$		$z_{11}=1/g_{11}$ $z_{12}=-g_{12}/g_{11}$ $z_{21}=g_{21}/g_{11}$ $z_{22}={\mathrm{\Delta }}_g/g_{11}$ ${\mathrm{\Delta }}_z=g_{22}/g_{11}$	$z_{11}=A/C$ $z_{12}={\mathrm{\Delta }}_A/C$ $z_{21}=1/C$ $z_{22}=D/C$
$G$	$g_{11}=h_{22}/{\mathrm{\Delta }}_h$ $g_{12}=-h_{12}/{\mathrm{\Delta }}_h$ $g_{21}=-h_{21}/{\mathrm{\Delta }}_h$ $g_{22}=h_{11}/{\mathrm{\Delta }}_h$ ${\mathrm{\Delta }}_g=1/{\mathrm{\Delta }}_h$	$g_{11}={\mathrm{\Delta }}_y/y_{22}$ $g_{12}=y_{12}/y_{22}$ $g_{21}=-y_{21}/y_{22}$ $g_{22}=1/y_{22}$ ${\mathrm{\Delta }}_g=y_{11}/y_{22}$	$g_{11}=1/z_{11}$ $g_{12}=-z_{12}/z_{11}$ $g_{21}=z_{21}/z_{11}$ $g_{22}={\mathrm{\Delta }}_z/z_{11}$ ${\mathrm{\Delta }}_g=z_{22}/z_{11}$		$g_{11}=C/A$ $g_{12}=-{\mathrm{\Delta }}_A/A$ $g_{21}={\mathrm{\Delta }}_A/A$ $g_{22}=B/A$
$A$	$A=-{\mathrm{\Delta }}_h/h_{21}$ $B=-h_{11}/h_{21}$ $C=-h_{22}/h_{21}$ $D=-1/h_{21}$	$A=-y_{22}/y_{21}$ $B=-1/y_{21}$ $C=-{\mathrm{\Delta }}_y/y_{21}$ $D=-y_{11}/y_{21}$	$A=z_{11}/z_{21}$ $B={\mathrm{\Delta }}_z/z_{21}$ $C=1/z_{21}$ $D=z_{22}/z_{21}$	$A=1/g_{21}$ $B=g_{22}/g_{21}$ $C=g_{11}/g_{21}$ $D={\mathrm{\Delta }}_g/g_{21}$

Преобразования схем

R_in, R_out — входное и выходное сопротивления; K_I, K_U — коэффициенты усиления по току и напряжению.

$R_{in}=\frac{U_1}{I_1};R_{out}=\frac{U_2}{I_2};K_I=\frac{I_2}{I_1};K_U=\frac{U_2}{U_1}.$

Схема	$H$	$Y$	$Z$	$G$
Файл:Quadripole 01.gif	$R_{in}=\frac{h_{11}+{\mathrm{\Delta }}_{h}R}{1+h_{22}R}$ $R_{out}=\frac{h_{11}+r}{{\mathrm{\Delta }}_h+h_{22}r}$ $K_I=\frac{h_{21}}{1+h_{22}R}$ $K_U=\frac{-h_{21}R}{h_{11}+{\mathrm{\Delta }}_{h}R}$	$R_{in}=\frac{1+y_{22}R}{y_{11}+{\mathrm{\Delta }}_{y}R}$ $R_{out}=\frac{1+y_{11}r}{y_{22}+{\mathrm{\Delta }}_{y}r}$ $K_I=\frac{y_{21}}{y_{11}+{\mathrm{\Delta }}_{y}R}$ $K_U=\frac{-y_{21}R}{1+y_{22}R}$	$R_{in}=\frac{{\mathrm{\Delta }}_z+z_{11}R}{z_{22}+R}$ $R_{out}=\frac{{\mathrm{\Delta }}_z+z_{22}r}{z_{22}+r}$ $K_I=\frac{-z_{21}}{z_{22}+R}$ $K_U=\frac{z_{21}R}{-{\mathrm{\Delta }}_z+z_{11}R}$	$R_{in}=\frac{g_{22}+R}{{\mathrm{\Delta }}_g+g_{11}R}$ $R_{out}=\frac{g_{22}+{\mathrm{\Delta }}_{g}r}{1+g_{11}r}$ $K_I=\frac{-g_{21}}{{\mathrm{\Delta }}_g+g_{11}R}$ $K_U=\frac{g_{21}R}{g_{22}+R}$

Разновидности четырёхполюсников

Симметричный четырёхполюсник — четырёхполюсник, у которого схема одинакова относительно его входных и выходных зажимов. Тогда для симметричного четырёхполюсника Z11 = Z22. Ещё: если при перемене местами источника и приемника энергии их токи не меняются, то такой четырёхполюсник называется симметричным.

Пассивный четырёхполюсник — это четырёхполюсник, который не содержит источников энергии, либо содержит скомпенсированные источники энергии.

Активный четырёхполюсник — это четырёхполюсник, который содержит нескомпенсированные источники энергии.

Обратимый четырёхполюсник — четырёхполюсник, у которого выполняется теорема обратимости, то есть передаточное сопротивление входных и выходных контуров не зависит от того, какая пара зажимов входная, а какая выходная: U1/I2=U2/I1

Частные случаи четырёхполюсников

Идеальный трансформатор

Идеальный трансформатор — это пассивный четырёхполюсник, описывающий формально модель трансформатора без учёта тока холостого хода и ферромагнитного сердечника. Математически это определяется системой уравнений, которая выглядит в H-форме (либо соответствующей ей матрицей):

$\{\begin{array}{c}{U}_1=h_{12}{U}_2\\ I_2=h_{21}{I}_1\end{array};\left(\begin{array}{c}{U}_1\\ I_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& h_{12}\\ h_{21}& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{I}_1\\ U_2\end{array}\right)$

Гиратор

Шаблон:Main Гиратор — пассивный четырёхполюсник без потерь, преобразующий входной ток — в выходное напряжение, а входное напряжение — в обратный по знаку (инвертированный) выходной ток (инвертор положительного сопротивленияШаблон:Sfn). Математически это описывается системой, которая выглядит в Y-форме (либо соответствующей ей матрицей:

$\{\begin{array}{c}{I}_1=y_{12}{U}_2\\ I_2=-y_{21}{U}_1\end{array};\left(\begin{array}{c}{I}_1\\ I_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& y_{12}\\ -y_{21}& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{U}_1\\ U_2\end{array}\right)$

Т.о. гиратор не поглощает и не накапливает энергию, преобразуя комплексное сопротивление нагрузки в сопротивление с обратным знаком и модулем, равным обратному соотношению:

$Z_{out}=\frac{1}{-Z_{in}{y}_{21}^2}$

Нуллор

Шаблон:Main Нуллор  — четырехполюсник, аномальный элемент, у которого входные ток и напряжение равны нулю, а выходные ток и напряжение принимают любые, не связанные друг с другом значенияШаблон:Sfn. Аномальные элементы используются в ряде случаев при анализе и синтезе электрических цепей.

См. также

• Двухполюсник

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга