Числа Лагранжа

Числа Лагранжа — это последовательность чисел, которые появляются в границах, связанных с приближением иррациональных чисел рациональными. Числа связаны с теоремой Гурвица.

Определение

Гурвиц улучшил критерий Дирихле иррациональности до утверждения, что вещественное число α иррационально тогда и только тогда, когда существует бесконечно много рациональных чисел p/q, (в несократимом виде), таких, что

$|\alpha -\frac{p}{q}|<\frac{1}{\sqrt{5}{q}^2}.$

У Дирихле в правой части стояло 1/q². Вышеприведённый результат является наилучшим, поскольку золотое сечение φ является иррациональным, но если мы заменим Шаблон:Radic любым бо́льшим числом в вышеприведённом выражении, мы получим только конечное количество рациональных чисел, удовлетворяющих неравенству для α = φ.

Гурвиц, однако, показал, что если мы исключим φ и производные от него числа, мы можем увеличить число Шаблон:Radic. Фактически он показал, что мы можем заменить его на 2Шаблон:Radic. Снова, это новое число является наилучшим возможным при новых условиях и на этот раз становится проблемным число Шаблон:Radic. Если мы запрещаем Шаблон:Radic, мы можем увеличить число в правой части неравенства с 2Шаблон:Radic до Шаблон:Radic/5. Повторяя этот процесс, получим бесконечную последовательность Шаблон:Radic, 2Шаблон:Radic, Шаблон:Radic/5, ..., сходящуюся к 3Шаблон:Sfn. Эти числа называются числами ЛагранжаШаблон:Sfn по имени французского математика Жозефа Луи Лагранжа.

Связь с числами Маркова

Число Лагранжа с номером n, L_n, задаётся формулой

$L_n=\sqrt{9-\frac{4}{{m_n}^2}}$,

где m_n — n-ое число МарковаШаблон:Sfn, являющееся наименьшим n-м целым m, таким, что уравнение

$m^2+x^2+y^2=3mxy$

имеет решение для целых положительных чисел x и y.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Lagrange number. From MathWorld at Wolfram Research.
• Introduction to Diophantine methods irrationality and transcendence — Online lecture notes by Michel Waldschmidt, Lagrange Numbers on pp. 24–26.